Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Mart 09, 2012, 10:37:43 ös

Başlık: n tane kırık doğrunun düzlemi parçalama sayısı {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Mart 09, 2012, 10:37:43 ös

n tane bir yerinden kırık doğruyla düzlem en fazla kaç parçaya ayrılır?

Başlık: Ynt: n tane kırık doğrunun düzlemi parçalama sayısı
Gönderen: Ferhat GÖLBOL - Mart 11, 2012, 12:04:31 öö

   "Bir kırık veya düz doğru, veya kendini kesmeyen ucu sonsuza giden eğri, kendinden önceki şekli n farklı noktada keserse düzlemde n+1 bölge daha oluşturur" gözleminden hareketle,
   n. kırık doğru için: Doğru iki ışından oluştuğundan, önceden düzlemde 2(n-1) ışın bulunduğundan, n. kırık doğru önceki şekille en fazla 2*2(n-1)=4(n-1) kesişim noktasına sahiptir. Dolayısıyla düzlemde 4(n-1)+1 yeni bölge oluşturur: a_n=a_n-1+4(n-1)+1. n'e sırayla değer verelim. n=1 için a₁=2 olduğunu biliyoruz.
    a₁=2
    a₂=a₁+4*1+1
    a₃=a₂+4*2+1
     ...
    a_n=a_n-1+4*(n-1)+1   denklemleri taraf tarafa toplanırsa
    a_n=4*[1+2+...+(n-1)]+n+1=4*(n-1)*n/2 + n+1 =2n²-n+1