Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: tototamuz - Kasım 08, 2011, 11:47:08 ös
-
Sorular:
-
Mantık:Epsilon'u y ekseni, deltayı x ekseni gibi düşünelim. Sana küçük bir epsilon,e, verildiğinde, öyle bir delta, d, bulacaksın ki
|x-x0| < d olduğunda, |f(x) - f(x0)| < e olacak. Eğer fonksiyonun limiti var ise f(x)'in epsilon komşuluğu içerisine x'in delta komşuluğunun görüntüsünü yerleştirebilesin.
Yöntem:
1) |f(x)-L| < e yazılıp, bir kaç işlem( :) ) ile |x-x0| < g(.) elde edilir.
2) Eşitsizliğin sağındaki ifade, yani g(.), aslında sadece epsilon cinsinden olmalıdır ama çoğu zaman olmaz.
3) O zaman bundan küçüklüğü garantilenmiş, herhangi bir epsilon ifadesi delta olarak seçilebilir. Çünkü eğer x'in g(.) komşuluğunda herhangi bir değeri seçtiğimizde f(x)'in e komşuluğunda olacak ise, g(.)'den küçük herhangi bir delta, yine f(x)'in e komşuluğunda olacaktır.
4) Aslında son adım olarak da, bulunan deltayı yerine koyarak sağlama yapılır. Ama bu kısım nispeten daha kolaydır.
Mesela sonuncu örneği ele alalım. (sqrt: karekök oluyor)
f(x) = 1/sqrt(1+x2) ve L = 1 ve bulmak istediğimiz |x-0| = |x| < d
|1/sqrt(1+x2)-1| < e
|1-sqrt(1+x2)| < sqrt(1+x2) * e
Burada x'li ifadeyi paya atmadan da mutlak değeri açıp |h(x)|<a olan ifadeyi -a < h(x) < a şeklinde yazabilirdik ama o zaman x paydada kalır epsilon pay'da kalırdı. Ters çevirdiğimizde ise x > ifade elde ederdik. Ama bizim istediğimiz x < ifade cinsinden olmalı.
|1-sqrt(1+x2)| < e < sqrt(1+x2) * e Not: (|1-sqrt(1+x2)|=|sqrt(1+x2)-1|)
1 - e < sqrt(1+x2) < 1 + e
(1-e)2 < 1+x2 < (1+e)2
e2-2e < x2 < e2+2e, küçük epsilonlar için e2-2e < 0'dır.
x2 = |x|2 < e2+2e
|x| < sqrt(e2+2e) ~ sqrt(2e) <---- e << 1
Not: Mesele deltayı sqrt(e2+2e)'da seçebilirdik, ya da sqrt(e) de. Çünkü hepsi |f(x)-L| < e 'yi garantiler.