Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: stuart clark - Ekim 14, 2011, 12:18:11 ös
-
(http://img225.imageshack.us/img225/7870/codecogseqn7.gif)
-
1.
a+b+c+d = 1 olmak üzere;
(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a) >= (10/3)3
olduğunu gösteriniz.
Çözüm
"Aritmetik ortalama"nın "harmonik ortalama"dan büyük
veya ona eşit olduğunu kullanalım:
küpkök[(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a)] >= 3/[1/(a+ 1/b) +1/(b+ 1/c) +1/(c+ 1/a)] (1)
Eşitlik, a+ 1/b = b+ 1/c = c+ 1/a (2) olduğunda geçerlidir.
(2) sisteminin apaçık çözümü a = b = c dir.
a = b = c = t değeri (1) eşitsizliğinin sağ tarafında yerlerine koyulursa;
3/[1/(a+ 1/b) +1/(b+ 1/c) +1/(c+ 1/a)] = t + 1/t olur.
a+b+c+d = 1 iken, 0 < a+b+c < 1 ve buradan 0 < t < 1/3 olur.
t + 1/t ifadesinin bu aralıkta azalan olduğu ve t = 1/3 için
en küçük değerini alacağı kolaylıkla görülür.
küpkök[(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a)] >= 10/3
ve buradan
(a+ 1/b).(b+ 1/c).(c+ 1/a) >= (10/3)3
bulunur.
-
Thanks muharrem49