Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Geometri-Teorem ve İspatlar => Konuyu başlatan: efder - Eylül 09, 2011, 12:25:04 ös

Başlık: $h_{a}<n_{a}<V{_a}$ Eşitsizliğine Kanıt
Gönderen: efder - Eylül 09, 2011, 12:25:04 ös

Çeşitkenar bir $ABC$ üçgeninde $A$ köşesinden çizilen yükseklik,açıortay,kenarortay uzunlukları sıralaması; $h_{a}<n_{a}<V_{a}$'dır.

Başlık: h_a<n_a<V_a Eşitsizliğine Kanıt
Gönderen: alpercay - Eylül 09, 2011, 02:12:55 ös

Öncelikle düzlemdeki bir noktadan bir doğruya giden en kısa yol bu noktadan doğruya indirilen dikmenin boyu kadardır  ve dikme ayağı ile eğik(verilen noktadan doğruya çizilen dik olmayan doğru parçaları) ayağı arasındaki mesafe arttıkça eğik boyu artar.Diğer tüm eğiklerin boyu bu dik doğrudan daha uzundur ki zaten bu açı kenar bağıntılarının bir sonucudur.Yani çeşitkenar bir  ABC  üçgeninde( şekildeki) A  dan çizilen yükseklik aynı köşeden geçen açıortay ve kenarortaydan daha kısadır.Şimdi kenarortayın açıortaydan daha uzun olduğunu göstermeye çalışalım.
|AB|<|AC| olduğunu kabül edelim.Bu durumda açıortay teoreminden  |AB|/|AC|=|BN|/|NC|  yazılabileceğinden  |BN|<|NC| dir. D noktası  [BC] kenarının orta noktası olmak üzere  |DC|=|BD|=|BC|/2  ve  |BN|+|NC|=|BC| eşitlikleri  vardır. |NC| yerine ondan daha küçük olan  |BN| değerini yazarsak  2|BN|<|BC|  ve |BN|<|BC|/2 =|BD| ve |BN|<|BD| eşitsizliği kurulabilir.Son eşitsizlik  AN eğik boyunun AD eğik boyundan büyük olması demektir;yani bilinen gösterimleri kullanırsak    n_A<V_a  yazılabilir.Sonuç olarak çeşitkenar bir ABC  üçgeninde A dan çıkan yardımcı elemanlar arasında    h_a<n_A<h_a  eşitsizliği yazılabilir.

Başlık: h_a<n_a<V_a Eşitsizliğine Kanıt{Çözüldü}
Gönderen: ERhan ERdoğan - Eylül 09, 2011, 04:03:25 ös

Çeşitkenar bir üçgende ;
yüksekliğin   : kısa kenarla yaptığı açı < uzun kenarla yaptığı açı
kenarortayın : kısa kenarla yaptığı açı > uzun kenarla yaptığı açı
açıortayın     : kısa kenarla yaptığı açı = uzun kenarla yaptığı açı