Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: noproblem - Eylül 04, 2011, 10:48:24 ös

Başlık: en küçük ortak kat
Gönderen: noproblem - Eylül 04, 2011, 10:48:24 ös

..

Başlık: Ynt: en küçük ortak kat
Gönderen: senior - Şubat 05, 2012, 01:40:21 ös

a₁ 2a₁ ... k₁a₁ sayıları a₁'in 1951'den küçükeşit katları olsun.
a₂ 2a₂ ... k₂a₂ sayıları a₂'nin 1951'den küçükeşit katları olsun.
...
a_n 2a_n ... k_na_n sayıları da a_n'in 1951'den küçükeşit katları olsun.

Eğer a_i ve a_j'nin okek'i 1951'den büyükse, bu sayılardan hiçbirisi aynı değildir. O zaman
k₁ + k₂ ... + k_n < 1950'dir çünkü toplam kat sayısı 1951 i geçemez. (1 herhangi bir a_i'nin katı olamaz çünkü a_i 1 olamaz).

Olayı canlandırmak için şu adımları düşünebilirsiniz.
2,3,...1951 sayıları arasından a₁'in katlarını silelim. --> 2,3,4,5,...,500,...,1000,...1500,...1951 (Ör: a1 = 500). Sonra a₂ = 501 olsun. ---> 2,3,4,...500,501...,1000,1001,1002...1500,1501,1502,1503,...1951.
Böyle böyle bütün katları silersek, kat sayısının en fazla 1950 olacağı görülür.

Herhangi bir kat ayrıyeten k_i = floor(1951/a_i) şeklinde de ifade edilebilir. Burada floor(m) aşağı yuvarlamayı ifade etmektedir. floor(m) için şu eşitsizlik geçerlidir:
m-1 < floor(m) < m
O zaman 1951/a_i - 1< floor(1951/a_i) < 1951/a_i
Yani,  1951/a₁ - 1 +  1951/a₂ - 1 + ... +  1951/a_n - 1 < 1950
--> 1/a₁ +  1/a₂ + ... +  1/a_n < (1950+n)/1951 < 1 + n/1951