Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ağustos 30, 2011, 12:40:47 öö

Başlık: Dörtgende alan eşitlikleri {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 30, 2011, 12:40:47 öö

üç faydalı alan problemi, hayırlı çalışmalar ...

Başlık: Ynt: Dörtgende alan eşitlikleri
Gönderen: Ferhat GÖLBOL - Ağustos 30, 2011, 11:57:15 öö

...

Başlık: Ynt: Dörtgende alan eşitlikleri
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 30, 2011, 02:59:01 ös

üç problem daha ekleyerek devam edelim :)

Başlık: Ynt: Dörtgende alan eşitlikleri
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 30, 2020, 01:55:51 ös

Problem 175'in çözümü:
$Alan(ABCD)=S$ denirse Pr 149'dan dolayı $S_1 + S_2+A =\dfrac{S}{2}=S_3 + S_4+A $ olup $S_1 + S_2=S_3 + S_4$ elde edilir.

Başlık: Ynt: Dörtgende alan eşitlikleri
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 30, 2020, 02:06:01 ös

Problem 176'nın Çözümü:
Pr 149'dan dolayı $S_1+S_4 + A + S_2+S_3 + C = \dfrac{1}{2}Alan(ABCD) = S+ B + D$ ve

Pr 175'ten dolayı $A+C=B+D$ olup $S= S_1+S_2+S_3+S_4$ elde edilir.

Başlık: Ynt: Dörtgende alan eşitlikleri
Gönderen: Lokman Gökçe - Aralık 01, 2020, 01:30:48 öö

Problem 178'in Çözümü: Problemin çözümüne geçmeden önce bir Lemma verip ispatlayalım.

Lemma: $L_1, L_2, L_3$ doğrularının her biri $L_4, L_5, L_6$ doğruları ile $A, B, C, D, E, F, G, H, I$ noktalarında kesişiyor. $A, B, C \in L_1$, $D, E, F \in L_2$, $G, H, K \in L_3$, $A, D, G \in L_4$, $B, E, H \in L_5$, $C, F, I \in L_6$ dır. (Aşağıdaki şekle bakınız).

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=2375.0;attach=15524;image)

$ \left\{\dfrac{|AB|}{|BC|}, \dfrac{|DE|}{|EF|},\dfrac{|GH|}{|HI|} \right\} $ oranlarından ikisi birbirine eşit olsun. Ayrıca

$\left\{ \dfrac{|AD|}{|DG|}, \dfrac{|BE|}{|EH|},\dfrac{|CF|}{|FI|} \right\} $ oranlarından ikisi birbirine eşit olsun.

Bu durumda üçer oran kendi içinde birbirine eşittir. Yani $\dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|DE|}{|EF|} = \dfrac{|GH|}{|HI|} $ ve $ \dfrac{|AD|}{|DG|} = \dfrac{|BE|}{|EH|} = \dfrac{|CF|}{|FI|} $ olur.



Lemma'nın İspatı: $\dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|GH|}{|HI|}$ ve $ \dfrac{|AD|}{|DG|} = \dfrac{|CF|}{|FI|}$ eşitliklerinin verildiğini düşünelim. İspatın, diğer oran varyasyonlarına da uygulanabileceği görülecektir.

$A$ noktasından geçen ve $L_3$ doğrusuna paralel olan $L_3'$ doğrusunu çizelim. $DI$ doğrusu ile $L_3'$ nün kesişimi $K$ olsun. $ \dfrac{|KD|}{|DI|}= \dfrac{|AD|}{|DG|}= \dfrac{|CF|}{|FI|}$  olup $KC \parallel L_2$ elde edilir. $DH$ doğrusu ile $L_3'$ nün kesişimi $L$ olsun. $ \dfrac{|AL|}{|LK|}= \dfrac{|GH|}{|HI|}= \dfrac{|AB|}{|BC|}$  olup $LB \parallel KC \parallel L_2$ elde edilir.

Böylece $\dfrac{|AD|}{|DG|} = \dfrac{|LD|}{|DH|} = \dfrac{|BE|}{|EH|}$ oranı elde edilir. Benzer biçimde $\dfrac{|AB|}{|BC|}= \dfrac{|DE|}{|EF|} = \dfrac{|GH|}{|HI|} $  olduğu da gösterilebilir.


Şimdi ana problemin çözümüne geçebiliriz.

(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=2375.0;attach=15526;image)

$ABCD$ dörtgeninde diğer noktaları aşağıdaki şekildeki gibi harflendirelim. Lemma'ya göre $|QJ|=|JI|=|IG|$, $|PT|=|TR|=|RH|$, $|EJ|=|JT|=|TN|$, $|FI|=|IR|=|RM|$ olur. Problem 150'den dolayı,  $S_1=\dfrac{1}{3}Alan(EFMN)$ ve $Alan(EFMN)=\dfrac{1}{3}Alan(ABCD)$ olup $$ S_1= \dfrac{1}{9}Alan(ABCD) $$ elde edilir.



Kaynak: gogeomerty sitesindeki 178. problem ve yorum (https://gogeometry.blogspot.com/2008/09/elearn-geometry-problem-178.html)