Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: noproblem - Temmuz 28, 2011, 03:40:32 öö

Başlık: tam kare{çözüldü}
Gönderen: noproblem - Temmuz 28, 2011, 03:40:32 öö

...

Başlık: Ynt: tam kare
Gönderen: senior - Temmuz 29, 2011, 03:28:24 ös

(a²+b²)/(1+ab) = K diyelim, K pozitif bir tamsayı.  --> a²+b² - Kab - K = 0
Bunu a'ya bağlı bir polinom şeklinde yazabiliriz: a² - a(Kb) + (b²-K) = 0
Diyelim ki, verilen bir K değeri için bu ifadeyi sağlayan bir (a,b) çifti bulduk. İfade ikinci dereceden olacağı için başka bir a değeri daha mevcuttur. O da kökler toplamı formülünden yani a_yeni = Kb - a şeklinde bulunabilir.
Kökler çarpımı formülünden ise şöyle bir ilişkimiz var: a x a_yeni = b²-K
Simetrikliği bozmadan a>b varsayabiliriz. O zaman kökler çarpımı ilişkisinden b>a_yeni'dir.
Yani, (a,b) çifti bir çözüm iken, (b,a_yeni) çifti de bir başka çözümdür. O zaman
bu şöyle devam edebilir: (b,a_yeni) bir çözüm iken (a_yeni, Ka_yeni-b) başka bir çözümdür ...

Yeni çifti bulmak için sürekli çıkartıyoruz, ve bu çiftler tamsayı çiftleri olacağından, sürekli azalan ve 0'a doğru yaklaşan bir dizi var elimizde. Ve her çift için soruda verilen ifade K'ya eşit olmak durumunda. Ama sürekli azalan tamsayılardan birisi 0'ı geçtiği vakit, 1+ab negatif olacak(yada 0) yani ifade negatif olacak(yada sonsuz) ve K'ya eşit olamayacaktır. Bu yüzden çiftlerden küçüğü 0'a gelmek zorundadır.

0'a geldiği durumda, (a_k,0) çifti çözüm olacak, ve yeni sıradaki sayı a_k+1 = K x 0 - a_k = -a_k, olacaktır. Sonrasında, a_k+2=-Ka_k diye devam edecek ve yine ifade = K koşulunu bozmayacaktır.

Ama 0'a uğramadığı vakit, sonuç negatif çıkacak ve ifade = K koşulu sağlanmayacaktır. Yani 0'a uğramaması imkansız.
Sonuç olarak, 0'a uğradığı durumda, K = a² yani tam kare olacaktır.

Bir örnek ile, 0'dan başlayıp bu sayıları yaratalım:
K = 49 olsun, a=7 ve b = 0 ile başlayalım.

(b,a_yeni) --> (a,b)
(7,0) --> (a,7) ==> a = Kb + a_yeni = 49 * 7 + 0 = 7³ ise çiftimiz (7³,7)'dir.
İfadede yerine koyalım:
(7⁶+7²)/(1+7x7³) = 7²(1+7⁴)/(1+7⁴) = 7² = K ...

Başlık: Ynt: tam kare
Gönderen: noproblem - Temmuz 30, 2011, 09:06:59 ös

hocam  ifadenin 0 uğraması için her k için hem mn+1  |m^2+n^2 ve m/n=k olan (m,n) ikilisi olduğunu göstermemiz gerekmiyor mu?

Başlık: Ynt: tam kare
Gönderen: senior - Temmuz 31, 2011, 03:20:00 öö

m/n = k derken aslında (m^2+n^2)/(1+mn) = k kastettin sanırım. Zaten her k için gösterdik biz de, soruya herhangi bir K pozitif tamsayısı varsayarak başladım ve sonrasında dizinin 0'dan geçmesi gerektiğini ve 0'dan geçtiği vakit de, K = a^2 olduğunu gösterdim.

Başlık: Ynt: tam kare
Gönderen: noproblem - Temmuz 31, 2011, 12:19:44 ös

m/n=k derken 0 dan önceki terim olam (m,n) kasteddim nk-m=0 olacaksa m/n=k olacak

bunu da vevam ettirsek n^2=k oluyor yani n ve n^3 çözüm sayıp direk 0 ulşıyoruz

(a,b) için ab+1|a^2+b^2 ise tek çözüm formu (s;s^3) müdür?

Başlık: Ynt: tam kare
Gönderen: senior - Temmuz 31, 2011, 05:45:53 ös

n n^3 çözüm sayıp 0'a ulaşmadık, 0'a ulaşıp oradan n ve n^3'ün çözüm olduğunu bulduk. Tek çözüm formu (s,s^3) değil; Çözümler 0'dan hareket edilerek şöyle yaratılır:
(b,c) --> (Kb-c, b)
Ör: (7,0) --> (7³,7) --> (7⁵-7, 7³) --> (7⁷-2*7³,7⁵-7) vs..

Başlık: Ynt: tam kare
Gönderen: noproblem - Ağustos 01, 2011, 03:21:46 öö

hocam hatamı anladım çözüm için teşekkür ederim