Geomania.Org Forumları
Üniversite Hazırlık Geometri => Üniversite Hazırlık Geometri => Konuyu başlatan: Beyşehirli - Mart 19, 2011, 08:55:30 ös
-
Bu soruyu internette görmüştüm, pek olimpiyatla ilgisi yok ama çözüm hakkında da en ufak bir fikrim yok yardımcı olursanız sevinirim...
-
cevap: 18 br2 dir. Şöyle yapıyoruz. 12 birim uzunluğundaki ipi çemberin etrafına sarınca ipin uç noktaları A ve B olsun. AB yayının uzunluğu = 12 ve yarıçap r = 3 olan daire diliminin alanı = (yay uzunluğu).r/2 = 12.3/2 = 18 bulunur.
sorunun ifadesinde bir sıkıntı var. bu yüzden iyi anlaşılamayabilir. ''ipi tamamen sarınca ipin taradığı alan'' ile ne kastedildiği açık değil. çünkü ip, bir alanı taramıyor. Çemberin merkezine O dersek [OA], [OB] yarıçapları ve uzunluğu 12 birim olan AB yayı arasındaki bölgeyi buluyoruz. Bunu ifade etmeye çalışmışlar.
-
Sorunun bu biçimde olduğundan şüpheliyim. Aslında ipin uç noktasının çizdiği eğri altında kalan alan soruluyor.
Yarıçap uzunluğu r br olan bir çember ve bu çemberin çevresi uzunluğunda bir ip düşünelim. Bu durumda
ipi çember üzerinde sabitledikten sonra gergin bir biçimde çembere sararken uç noktasının çizdiği eğrinin parametrik denklemi:
x = r(cost+tsint) ve y = r(sint-tcost) dir.
t parametresi çemberin merkezi ile ipin çembere bağlı noktası arasındaki yarıçap doğrusunun x ekseniyle yaptığı açının ölçüsüdür.
Bu eğri altındaki alanı bulmak için, 0 <= t <= 2pi olacak biçimde
ydx integralinde y ve dx parametrik olarak yazılarak integral alınır.
Sonuç olarak r(pi+4pi3/3) bulunur.
Ayrıca merak edenler için ipin uç noktasının çizdiği eğrinin uzunluğu da 2pi2r dir.
(Bunun çözümünü daha önce detaylı olarak pdf ve animasyonlu biçimde yapmıştım, isterseniz gönderebilirim.)
Şimdi neden sorunun bu biçimde olmaması gerektiğine gelelim:
Verilen ipin uzunluğu çemberin çevresi kadar değildir. Bu durumda parametrik denklem değişmektedir.
Bu önemli bir durum değil, fakat t açısı 0<= t <= 4 olmaktadır. Bu durumda da çözüm trigonometrik değerlerle ifade edilecek biçimde bulunur. Zira integralde cos ve sin var. sin4 ve cos4 ifadeleri bulunacaktır.
Eğer soruda çemberin 3 br olan yarıçapını vermeyip, 12 br lik ipin uzunluğunun çemberin çevresine eşit olduğu belirtilirse, o zaman yukardaki formüller işe yarar.
-
Hocam şimdi gönderdiğim şekil sanırım sorunun daha iyi anlaşılmasını sağlayacaktır. Şekildeki kesik eğrinin kısıtladığı alan soruluyor..
-
bu haliyle eğrinin parametrik denklemini yazmak zor olabilir. Barış hocamın dediği şekilde parametrik denklem yazılabilirse soru da integralle çözülür. Üniversitelerde okutulan analitik geometri ders kitaplarında yuvarlanarak hareket eden noktaların oluşturduğu eğrilerin denklemlerini yazma problemleri vardı. bu tür kitaplara kitaplara göz atmak işe yarayabilir. aklıma başka birşey gelmedi :)
-
http://geomania.org/forum/fantezi-geometri-arsivi/cember-ip/
linkindeki çözüm öngörü oluşturması için yeterli sanırım..