Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ocak 30, 2011, 08:46:14 ös
-
Problem 1:
x2 + y2 = 5
x3 + y3 = 9
denklem sisteminin
a) tüm (x, y) reel sayı ikilisi çözümlerini bulunuz.
b) tüm (x, y) karmaşık sayı ikilisi çözümlerini bulunuz.
-
Şöyle düşündüm:
x2+y2=5 -->> (x+y)2-2xy=5 (1)
x3+y3=9 -->> (x+y)3-3xy(x+y)=9 (2)
(1) ve (2) nolu denklemlerden xy terimlerini yanlız bırakarak k=x+y değişimiyle
k3-15k+18=0 denklemini buluruz.
Bu denklemde
(k-3).(k2+3k-6)=0 şeklinde çarpanlarına ayrılır:
k=3 için (x,y) = {(1,2),(2,1)} bulunur.(ki bu değerler en başta sezgisel olarak görülmektedir.)
k2+3k-6=0 denkleminden k=(-3+√33)/2 için de
x= ( √33 - 3 + √(6·√33 - 2)/4 ve y=( √33 - 3 - √(6·√33 - 2)/4
x= ( √33 - 3 - √(6·√33 - 2)/4 ve y=( √33 - 3 + √(6·√33 - 2)/4 bulunur.
k= (-3-√33)/2 için ise karmaşık iki (x,y) ikilisi bulunur:
x= ( -√33 - 3 - i.√(6·√33 + 2)/4 ve y= ( -√33 - 3 + i.√(6·√33 + 2)/4
x= ( -√33 - 3 + i.√(6·√33 + 2)/4 ve y=( -√33 - 3 - i.√(6·√33 + 2)/4
-
güzel çözüm, tebrikler hocam,
Problem 2:
x + y = 3, xy = 4 ise x7 + y7 kaçtır?
Problem 3: a > 0 ise aağıdaki denklem sisteminin tüm reel (x, y) ikilisi çözümlerini bulunuz.
x3 + y3 = 5a3
x2y + y2x = a3
-
Problem 3:
x2y+xy2=a3 denklemini 3 ile çarpıp diğer denklem ile toplarsak:
(x+y)3=8a3 -->> x+y=2a bulunur.
Ayrıca denklemleri taraf tarafa çıkarırsak:
x2(x-y)+y2(y-x)=4a3 -->> (x-y)2(x+y)=4a3 olur.
İlk bulduğumuz x+y = 2a yı yerine yazarsak:
x-y = a√2 ve ya x-y = -a√2 olur.
x+y=2a ile çözülürse:
x=a(2+√2)/2 ve y=a(2-√2)/2 veya simetrik olarak y ve x yer değiştirir.
-
Problem 2:
x3+y3=(x+y)3-C(3,1)xy(x+y) = 27-3.4.3=-9
x5+y5=(x+y)5-C(5,1)xy(x3+y3)-C(5,2)x2y2(x+y) = 243-5.4.(-9)-10.16.3 = -57
x7+y7=(x+y)7-C(7,1)xy(x5+y5)-C(7,2)x2y2(x3+y3)-C(7,3)(xy)3(x+y) = 2187-7.4.(-57)-21.16.(-9)-35.64.3 = 87
-
Lokman Hocamın herkese selamı var..Antalyalardan sizlere bir sorusu var.
Soru[L.Gökçe] : x+y=1 , x.y=-1 olduğuna göre x13+y13 kaçtır?
-
tekrar selamlar, antalyadaki yoğun tübitak matematik kampımız sona erdi. ben de klavyenin başına geçtim :)
elbette (x + y)13 binom açılımı ve özdeşlikler kullanılıp bir hayli işlem yaptıktan sonra sonuca ulaşılabilir. soruyu oluştururken amacım, basit bir fikirden hareketle xn + yn toplamının nasıl hesaplanacağı ile ilgili bir yöntemi açıklamaktı. ipucu vereyim: çıkış noktamız bir doğrusal indirgemeli dizi kurmak olacak.
-
hoş geldiniz Lokman Hocam...Umarım komşuda pişen bizede düşer.. :)
Soruya gelince .....Ben verilenler dikkate alınarak
xn+yn=a
xn+1+yn+1=b iken xn+2+yn+2=a+b
olduğunu göstererek bir çözüm yapmışatım ama sizin veya arkadaşların çözümünü gördükten sonra benim çözümümü paylaşırım
-
Çözüm 4:
Sn = xn + yn diyelim. S0 = x0 + y0 = 2, S1 = x + y = 1 dir. Bu durumda Sn = (x + y).Sn - 1 - xy.Sn - 2 dir. (Bu eşitliğin sağlandığını göstermek kolay olduğu için üzerinde durmuyorum)
Sorunun çözümü bu Sn = (x + y).Sn - 1 - xy.Sn - 2 eşitliğine dayanıyor. Burada x + y = 1, xy = - 1 değerleri yazılırsa Sn = Sn - 1 + Sn - 2 bulunur. Bu indirgeme bağıntısına göre önceki iki terim biliniyorsa bir sonraki terim belirlenebilir. İşlemlerimde hata yoksa:
x2 + y2 = S2 = 1 + 2 = 3
x3 + y3 = S3 = 3 + 1 = 4
x4 + y4 = S4 = 4 + 3 = 7
x5 + y5 = S5 = 7 + 4 = 11
x6 + y6 = S6 = 11 + 7 = 18
x7 + y7 = S7 = 18 + 11 = 29
x8 + y8 = S8 = 29 + 18 = 57
x9 + y9 = S9 = 57 + 29 = 86
x10 + y10 = S10 = 86 + 57 = 143
x11 + y11 = S11 = 143 + 86 = 229
x12 + y12 = S12 = 229 + 143 = 372
x13 + y13 = S13 = 372 + 229 = 601
Problem 2 de bu yöntemle çözülebilir. Hatta diğer soruların çözümünde de Sn = (x + y).Sn - 1 - xy.Sn - 2 bağıntısını çalıştırabiliriz