Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ocak 15, 2011, 09:26:16 ös
-
27 Kasım 2010 tarihinde yapılan Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Sınavı'nın soruları. Daha önceki ilköğretim klasik problemleriyle kıyaslarsak zor olduğunu söyleyebiliriz. elimizden geldiğince beraberce cevap arayalım. Hepimize kolay gelsin :) ...
-
geometri sorusuna özel bir hal için çözüm yapmıştım. Bu şekliyle bile pek basit bir problem değil aslında. genel biçimde çözüm bulabilen üyelerimiz buraya ekleyebilir.
-
çözümde alt durumların analizi aşaması oldukça zaman alıyor. toplamda 4,5 sınav süresi var ama bu süre bile öğrencilere az gelmiş olabilir. (belki de daha pratik çözümler vardır)
2. sorunun çözümü:
-
4. problem için şöyle bir yol izleyebiliriz:
öncelikle eşitlik halinin sağlanması için gerek ve yeter koşulun a = b = 1 olması gerektiğini söyleyelim. Eğer a2b2(a2 + b2 - 2) ≥ (a + b)(ab - 1) eşitsizliğinde b = 1 yazarsak a2(a2 - 1) ≥ (a + 1)(a - 1) olur. bu eşitsizlik ise daima doğru olup eşitlik hali ancak a = 1 iken sağlanır.
Şimdi a > 1 ve b > 1 durumunu inceleyelim. a2 + b2 - 2 > ab - 1 olduğunu görmek kolaydır. Zira bu eşitsizlik a3 + b3 > a + b eşitsizliğine denktir. Diğer taraftan a2b2 > a + b olduğunu da görterebiliriz. Bunun için (a2 - 1)(b2 - 1) > 0 eşitsizliğinde parantezleri açmak yeterlidir. Velhasıl bu eşitsizlikler tafar tarafa çarpılırsa a2b2(a2 + b2 - 2) > (a + b)(ab - 1) kesin eşitsizliği bulunur. Eşitlik durumu sağlanamaz.
Benzer düşünce ile a < 1 ve b < 1 durumları da irdelenebilir. Burada a = 1/x, b = 1/y dönüşümü yapılırsa x > 1, y > 1 olacaktır. Bundan sonra yukarıda kullandığımız türden bir yol takip edilebilir. Yine kesin eşitsizlik bulunur.
Son olarak a < 1 ve b > 1 durumuna bakılırsa a = 1/x değişken değiştirmesi yapılarak x > 1 eşitsizliği kullanılabilir. Bunun sonucunda da kesin eşitsizlik bulunur.
Demek ki sadece a = b = 1 için eşitsizlikte eşitlik hali sağlanır. Diğer durumlarda eşitlik sağlanmaz ve eşitsizlik kesindir.
-
geometri sorusu için O merkezinin [AB] üzerinde alınmasının problemin genelliğini bozmadığını farkettim. Çözümde ufak bir ekleme yaparak tekrar yollarım.
şimdi eşitsizlik sorusu için artofproblemsolving.com da verilen farklı bir çözümü sunalım:
-
çözümde alt durumların analizi aşaması oldukça zaman alıyor. toplamda 4,5 sınav süresi var ama bu süre bile öğrencilere az gelmiş olabilir. (belki de daha pratik çözümler vardır)
2. sorunun çözümü:
Lokman hocam,
m>1012,5 gerekçenizi anlayamadım. Ayrıca d=0 için çözüm olmamasını da anlamadım.
n+15 = a değişimi yaptıktan sonra çözünce d = 0 durumunda a = 1849 (yani n = 1834) ve m= 2666 bir çözüm oluyor.
-
hatamı gördüm, uyarınız için teşekkürler Barış bey :) çözümümdeki temel çıkış noktası
(2n + 2m + 2025)(2n - 2m + 2025) = 32.52.72.192
eşitliğidir. Buradan sonra çarpanları deneyerek tam 39 çözüme ulaşabiliyoruz. Bununla beraber m > 1012,5 ve d = 0 olma zorunluluğu yok. Ben hatalı bir işlem yapmışım. 39 çözümün elde edilişiyle ilgili tafsilatlı bir yazı hazırlayacağım inş.
-
Öğrencileri o harfiye gösterelim:
1. soruyu o1,o2,o3,o4
Her soru ikilisini tam olarak bir öğrenci çözdüğüne göre, genelliği bozmadan o1 alalım:
2. soruyu o1, o5,o6,o7
Aynı mantıkla soru (1,3) ü o2 ve soru (2,3) ü o5 çözsün:
3. soruyu o2, o5,o8,o9
Soru (1,4) ü o3, soru (2,4) ü o6 ve soru (3,4) ü o8çözsün:
4. soruyu o3, o6, o8,o10
Soru (1,5) ü o4, soru (2,5) i o7, soru (3,5) i o9 ve soru (4,5) i o10çözsün:
5. soruyu o4, o7,o9,o10
....biter.
-
soru3:
n'inci öğrenciyi on harfiyle, n'inci soruyu Sn kümesi ile gösterelim.Sn kümesinin elemanları n'inci soruyu çözen öğrenciler olsun. Soruda verilene göre her bir Sn kümesi 4 elemanlı ve her Sa kümesiyle Sb kümesinin kesişimi bir elemanlıdır (a eşit değil b).
Hipotez: Her öğrenci en fazla 4 soru çözebilir.
İspat: Bir o1 öğrencisi S1,S2,S3,S4 ve S5 sorularını çözmüş olsun. Hiçbir öğrenci tüm soruları çözmediğine göre o1 elemanını içermeyen bir S6 kümesi bulunmalı ve S6 kümesinin Sn|n=1,2,..,5 kümelerinden her biriyle kesişimi bir elemanlı olmalıdır. İlk 5 kümede o1 oyuncusu ortak olduğuna göre de bu 5 kümenin herhangi ikisinin
o1'den başka ortak elemanı yoktur. Bu nedenle de S6 kümesinin Sn|n=1,2,..,5 kümelerinden her biriyle ortak elemanı farklıdır. Bu koşulları sağlayan S6 kümesi en az 5 elemanlı olur ki tam olarak 4 elemanlı olmalıdır. Dolayısıyla hiçbir öğrenci 5 soru çözemez.
Sorunun çözümüne dönelim.
S1={o1,o2,o3,o4} olsun. Hipoteze göre o1 elemanını içeren en fazla 3 küme daha oluşturulabilir. Benzer şekilde o2,o3,o4 elemanlarını içeren en fazla üçer küme bulunur ve bu durumda en fazla 13 küme oluşur.o1,o2,o3 veya o4'ü bulundurmayan bir kümenin S1 ile kesişimi boş küme olacağından verilen şartı sağlamaz.
13 soru için çözüm:
S1={o1,o2,o3,o4} S5={o2,o5,o8,o11} S8={o3,o5,o9,o13} S11={o4,o5,o10,o12}
S2={o1,o5,o6,o7} S6={o2,o6,o9,o12} S9={o3,o6,o10,o11} S12={o4,o6,o8,o13}
S3={o1,o8,o9,o10} S7={o2,o7,o10,o13} S10={o3,o7,o8,o12} S13={o4,o7,o9,o11}
S4={o1,o11,o12,o13}
-
Her soru ikilisini bir öğrenci çözmüştür cümlesinden çözülen soru ikililerinin çözücülerinin birbirinden farklı olması gerektiğini düşünerek çözüm vermiştim.
Ferhat hocamın çözümünde çözenlerin aynı kişi olabileceği görülüyor: Örneğin;
(S1,S2), (S1,S3) ve (S1,S4) ikililerini sadece o1 çözmüştür.
-
zihninize sağlık, ilginiz için teşekkürler arkadaşlar ...
problemleri artofproblemsolving'de de sormuştum. 3. problem için graf teorisinde Steiner Sistemi olarak adlandırılan konu ile ilişkilendirilerek bir çözüm verilmişti.
diğer yaklaşımları incelemek isteyenler için linkleri veriyorum:
Problem 1: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=386755&p=2147702#p2147702
Problem 2: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=386833&p=2148252#p2148252
Problem 3: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=41&t=386835&p=2148255#p2148255
Problem 4: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=386832&p=2148242#p2148242
-
(pek kısaltamadım ama yazmak zamanımı aldı, ziyan olmasın :)) 2.soru için bir çözüm:
-
1. soru için verdiğim çözümde küçük bir düzeltme yaparak genel çözüm hazırlamıştım. ayrıca verdiğim linkteki ikinci çözümü de çizimle süsleyerek ekliyorum :)
-
1. soru için çözümüm:
-
Ferhat kardeşim çözümün doğru fakat çizim hatalı. A noktası çemberin merkezi değil. A noktası çemberin geçtiği herhangi bir nokta olmalı.
-
arşivlemek isteyen olimpiyat meraklıları için çözümleri pdf formatında tek parça haline getirdim.
(göze çarpan yazım hataları düzeltilip güncellenmiştir)
-
Soruyu bir kağıda çözmüştüm, bilgisayara çizimi yanlış geçirmişim. İlk çizime göre yapsaydım kuvvet de yanlış alınmış olurdu...