Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Aralık 05, 2010, 10:03:44 ös

Başlık: $x^2 + y^2 = 5.7^{10}$
Gönderen: Lokman Gökçe - Aralık 05, 2010, 10:03:44 ös

Şöyle bir problem hazırladım, püf noktasını yakalayınca kolayca çözülebiliyor :)


(http://www.codecogs.com/eq.latex?\text{a) } x^2 + y^2 = 5.7^{10} \text{ denkleminin kaç }(x, y) \text{ tamsayı ikilisi çözümü vardır?})

Bu da problemin diğer bir versiyonu

(http://www.codecogs.com/eq.latex?\text{b) } x^2 + y^2 = 5.7^{2n+1} \text{ denkleminin kaç }(x, y) \text{ tamsayı ikilisi çözümü vardır? })
(http://www.codecogs.com/eq.latex?\text{Burada } n\geq0 \text{ şeklinde bir tamsayıdır.})

Başlık: Ynt: x^2 + y^2 = 5.7^10
Gönderen: orhangokce - Aralık 05, 2010, 10:34:31 ös

cevap nedir

Başlık: Ynt: x^2 + y^2 = 5.7^10
Gönderen: Lokman Gökçe - Aralık 05, 2010, 10:56:39 ös

Problem üzerinde düşünmek isteyenler için detaylı çözümü hemen vermeyelim.

a) durumunda denklemin tamsayılarda tam 8 tane (x, y) ikilisi çözümü vardır.

Başlık: Ynt: x^2 + y^2 = 5.7^10
Gönderen: gahiax - Aralık 13, 2010, 01:33:41 öö

Lokman hocam soruyu çözdüm zannediyodum ama tam çözememişim ;D  8 çözümden başka çözümü olmadığını gösteremedim  :( başka çözüm olmadığını nasıl gösterecez

Başlık: Ynt: x^2 + y^2 = 5.7^10
Gönderen: Lokman Gökçe - Aralık 13, 2010, 06:38:04 ös

a, b tamsayıları için a, b yi tam bölüyorsa bunu a|b ile gösteriyoruz. x, y tamsayıları için 7|(x² + y²) olmalıdır. Şimdi burada şöyle bir iddiada bulunuyoruz:

7|(x² + y²) ise 7|x ve 7|y olmak zorundadır.  Bu noktaya dikkat edelim: x, y sayıları 7 ile tam bölünüyorsa x² + y² de 7 ile tam bölünür, demiyorum. Bu zaten kolayca görülebilecek birşey. Bunun tersinin de doğru olduğunu iddia ediyoruz. İddiacı iddiasını ispat etmekle mükelleftir kaidesinden hareketle, şimdi biz de bu iddiamızı ispat edelim:

x² + y² ≡ 0 (mod7) veriliyor. Her x tamsayısı için x ≡ 0, ±1, ±2, ±3 (mod7) durumlarından birisi geçerlidir. Kare alırsak x² ≡ 0, 1, 2, 4 (mod7) olabilir. Bu arada x² ≡ 0 (mod7) durumunun sadece x ≡ 0 olması ile mümkün olduğuna da dikkat edelim. Benzer denklikler y için de yazılabilir. Yani y² ≡ 0, 1, 2, 4 (mod7) olur. Elbette y² ≡ 0 (mod7) durumun sadece y ≡ 0 ile mümkün olacaktır. Bu denklikleri toplarsak ² + y² ≡ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod7) elde ederiz. Fakat ² + y² ≡ 0 (mod7) denkliğini sadece ve sadece x² ≡ 0 ve y² ≡ 0 denkliklerinin toplanmasıyla elde edebildiğimize dikkat edelim. Buradan x ≡ 0 ve y ≡ 0 (mod7) buluruz.

Şimdi x = 7a, y = 7b olacak şekilde a, b tamsayıları vardır. Denklemde kullanırsak 49(a² + b²) = 5.7¹⁰ olup a² + b² = 5.7⁸ elde ederiz. Bu durumda a = 7c, b = 7d olacak şekilde c, d tamsayıları vardır. Buna göre c² + d² = 5.7⁶ yazılır. ... Sonuçta m² + n² = 5 eşitliğine ulaşırız.  Buradan (m, n) = (2,1) ve diğer çözümler bulunur. 8 tanedir.

Başlık: Ynt: x^2 + y^2 = 5.7^10
Gönderen: orhangokce - Aralık 14, 2010, 09:30:42 ös

Sanırım şu kritik noktada hata yaptım:
x ve y sayıları 7'nin katı olmalı.Ben 7'nin katı derken genel dşünüp 7^n ve 7^m şeklinde düşündüm.
Peki siz neden öyle düşünmediniz?

Başlık: Ynt: x^2 + y^2 = 5.7^10
Gönderen: Lokman Gökçe - Ocak 12, 2013, 02:11:29 ös

Alıntı yapılan: orhangokce - Aralık 14, 2010, 09:30:42 ös

Sanırım şu kritik noktada hata yaptım:
x ve y sayıları 7'nin katı olmalı.Ben 7'nin katı derken genel dşünüp 7^n ve 7^m şeklinde düşündüm.
Peki siz neden öyle düşünmediniz?

x ve y, 7 nin katı ise x = a.7^m, y = b.7ⁿ diyebilirsiniz.Burada sorun yok. mod 4 ile ilgili incelemenizde de bir sorun var. a² + b² = 1 (mod 4) ise (1, 0) dan başka çözüm yok mudur? Örneğin a = 2 + 4k, b = 1 + 4t şeklindeki sayılar da aynı denkliği sağlıyor.