Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Kasım 15, 2010, 12:14:52 öö
-
SORU 1: Analitik düzlemde koordinat eksenleri ve x = 8, y = 8 doğruları arasında kalan karesel bölgeden rastgele bir nokta seçiliyor. Bu noktanın x + y = 6 doğrusunun altında, 4x + y = 6 doğrusunun üstünde kalma olasılığı nedir?
-
SORU 2: Aşağıdaki sayı doğrusu üzerinden rastgele bir nokta seçiliyor. Bu noktanın 4 e, 0 dan daha yakın olma olasılığı kaçtır?
-
SORU 3: Düzlemde köşeleri (0, 0), (3, 0), (3, 2), (0, 2) olan dikdörtgenin içinden rastgele bir (x, y) noktası seçiliyor. x < y olma olasılığı kaçtır?
-
SORU 4: |AB| = 13, |AC| = 5, |BC| = 12 olan ABC üçgeninin içinden rastgele bir P noktası alınıyor. P noktasının C ye, A ve B den daha yakın olması olasılığı kaçtır?
-
SORU 5: Aşağıda 9 eş kareden oluşan şekil görülmektedir. A noktasında bulunan bir kişi eşit olasılıklarla 4 mümküm yönde ilerleyebilmektedir. Her defasında bir kesişim noktasına gelinebilmekte ve sonra yine rastgele bir yön seçilmektedir. Bu kişinin ilk dört adım içinde gri renkli karenin ertafını dolaşma olasılığı kaçtır?
-
SORU 6: İki arkadaş saat 1:00 ile 2:00 arasında bir partide buluşmak için anlaşıyor. Erken gelen diğerini 15 dakika bekleyecek, sonra gidecektir. Bu iki arkadaşın partide karşılaşma olasılığı nedir?
-
SORU 7: 0 < a < 8 ve 0 < b < 4 olacak şekilde rastgele a, b sayıları seçiliyor. a + b < 4 olma olasılığı kaçtır?
-
SORU 8: Aşağıdaki gibi üç bölmeye ayrılmış bir çark döndürülüyor. Çark durduğunda ok'un bir tek sayıyı gösterme olasılığı kaçtır?
-
1.SORU ÇÖZÜM
-
3.SORU ÇÖZÜM
-
4.SORU ÇÖZÜM .
bu soruyu doğru mu çözdüm bilemiyorum çevrel çemberden yola çıkılarak çözüleceğini tahmin ettim ama dik üçgen olunca emin olamadım :D
-
tebrikler H.İbrahim kardeşim, 3 te 3 doğru gidiyorsun :)
-
2.soru Nokta 0 ile 2 arasında ise, 0'a yakın 2'den büyük ise 4'e yakındır. Yani olasılık 3/5.
-
Soru 6 için ÇÖZÜM:
Koordinat sisteminde herhangi bir noktanın koordinatları sırasıyla bu iki kişiyi temsil etsin.
1-sol alt köşesi orijin olan 60x60 lık bir kare çizilir.
2- y-x = 15 ve x-y = 15 doğruları çizilir.
3- Bu iki doğru ve kare arasında kalan bölgedeki herhangi bir noktanın koordinatları farkı 15 den küçük olacağı için
kişilerin karşılaşmasını sağlayan geometrik bölge bu bölge olur.
Böylece istenen olasılık (60.60-45.45)/60.60 = 7/16 bulunur.
Aslında bu soru için 2007 yılında bir genelleme yapmıştım.
-
Soru 5: İlk 4 adımda bu karenin etrafını dolaşacak ise hata yapma olasılığı yok. Ya aşağı-sağ-yukarı-sol yada sağ-aşağı-sol-yukarı yolunu izleyecek. Her bir yol için olasılık (1/4)4. O zaman sonuç 2/44
-
Proble_m hocam genellemeniz güzel olmuş. Elinize sağlık.
-
Soru 7: x ekseni 8'de biten, y ekseni 4'te biten bir dikdörtgensel alan düşünelim. x + y = 4 doğrusunu çizdiğimizde bu doğrunun altında ve dikdörtgenin içinde kalan alanı oluşturan noktalar soruda istenilen ifadeyi sağlayan noktalardır. Yani bu alan/Dikdörrgenin alanı istediğimiz olasılıktır.
x+y = 4 doğrusu x ve y eksenlerini 4'lerde keser. Altındaki üçgensel bölgenin alanı 4*4/2 = 8
Dikdörtgenin alanı 4*8 = 32 oldu. sonuç 8/32 = % 25 'tir
-
Hocam Soru 8 hakkında ben mi yanılıyorum yoksa cvp gerçekten 3/4 mü?
-
8. sorunun cevabı 3/4 doğru bulmuşsunuz :) tek sayılara ait dilimlerin merkez açıları toplam 90 + 180 = 270 dir. 270/360 = 3/4 olur.
Bu konuyla ilgili bir olimpiyat çalışma kağıdı hazırlamayı düşünüyordum. Burada çözdüğümüz problemlerin benzerleri ile kolaydan zora doğru giriş yapabiliriz.
-
Tabi ki, birkaç öneri ile gelirim :) Sorular daha zorlarına açık kapı bırakıyor. Mesela, soru 5 için, ilk dört adımda değil de, her durumda o karenin etrafını dolaşma olasılığı da mevcut.
Ayrıca, proble_m arkadaşımız genellemesinin bir ispatını paylaşırsa sevinirim =) Ben ancak rastgele değişkenlerden gidilebileceği kanısına vardım böyle hipergeometrik problemler için ama varsa daha algısal bir yöntem görmek isterim.
-
Problem 9: Bir doğru parçasının üzerinden rastgele iki nokta alınarak üç küçük doğru parçası elde ediliyor. Bu küçük doğru parçalarının üçgen oluşturabilme olasılığı nedir?
2006 da iki yoldan çözmüştük, sadece birine ulaşabildim (paintte cillop gibi çizimler yapardım ;D)
-
Güneş kardeşim önerilerine herzaman açık olduğumu tekrar hatırlatayım. Dökümanı daha ilginç hale getireceğinden eminim. Ben de gün yüzü görmemiş bir soru hazırlamıştım. Onu da eklerim ;)
Arkadaşlar 3 boyutlu grafik için kullanımı kolay ve estetik çizimler veren, tavsiye edebileceğiniz bir program var mı? Proble_m hocam 3 boyutlu çizimi siz hangi programda yapıyorsunuz?
Problem 10: Bir çubuk rastgele üç yerinden kırıldığından oluşan parçaların dörtgen oluşturabilme olasılığı nedir? (Hazırlayan: Alper ÇAY)
-
Alper bey'in genellemesini verelim:
Problem 11: n - 1 noktadan kırılarak n parçaya ayrılan bir çubuğun bir n - gen oluşturabilme olasılığı nedir?
-
Üç boyutlu uzayda çözülebilecek problemler hazırlamıştım. Onları da ekliyorum.
Problem 12: [0,4] aralığından rastgele 3 sayı seçiliyor. Bu sayıların toplamının 3 den büyük olma olasılığı kaçtır?
Problem 13: [0,1] aralığından rastgele seçilen üç sayı x, y, z dir. z2 < x2 + y2 olma olasılığı kaçtır?
-
Problem 14: [0,1] aralığından rastgele seçilen üç sayı x, y, z dir. z < x2 + y2 olma olasılığı kaçtır?
-
yine 2006 da hazırladığım bir başka hipergeometrik problem:
Problem 15: a > 0 bir sabit olmak üzere [0,a] aralığından rastgele seçilen dört sayı x, y, z, t olsun. t > x + y + z olma olasılığı kaçtır?
Çözüm: Önce rastgele seçilen x, y şeklindeki iki sayı için y > x olma olasılığını bulalım. bu olasılık 1/2 dir.
Sonra rastgele seçilen x, y, z şeklindeki üç sayı için z > x + y olma olasılığını bulalım. bu olasılık 1/6 dır.
daha sonra bir genellemeye ulaşıp, bu genellemeyi ispatlayarak problemimizi çözebiliriz... t > x + y + z olma olasılığı 1/24 tür.
-
R3 çizimleri için ben eski bir Matematik Yazılımını kullanmıştım. "Derive 6".
Alternatif olarak: denklemi verip çizimi görebileceğimiz program olarak Microsoft Math var.
Kendi çizimim içinse CorelDraw veya Cabri 3D kullanırım.
Soru 6 için verdiğim genellemenin ispatını ben de merak ediyorum doğrusu:) Uzun zaman oldu, biraz zaman gerekecek sanırım.
-
Teşekkürler hocam. Microsoft Math, ilk göz ağrım olan Paint'ten daha iyi iş çıkardı :D test amacıyla JPEG formatında kaydedilmiş z = x2 + y2 paraboloidini inceleyelim. (PNG formatı tercih edilirse daha da estetik görünüyor ama 3 kat daha fazla alan kaplıyor diye onu koymuyorum)
-
Soru 6 için yaptığım genellemenin temel mantığını pdf ekinde veriyorum. Bir ispat değil zaten.
rar uzantılı ekte ise Cabri 3D ile yaptığım dosyalar var. Dosyaları bir klasöre açtıktan sonra, explorer sembollü dosyayı çalıştırmanız yeterli. Şekil üzerinde mouse un sağ tuşuna basılı tutarak şekli (pdf ekindeki 3 boyutlu resmi) istediğiniz gibi döndürebilirsiniz.
Tabii bunu yapabilmeniz için öncelikle Cabri 3D nin http://download.cabri.com/data/cabri3d/212/Cabri3D_Plugin_212b_Win.exe adresinden explorer ve firefox için plug-in i indirip kurun.
Bunu gerçekten yapmanızı tavsiye ederim, şekli döndürerek görmek çok güzel.
-
evet, 3 boyutlu şeklin sağını solunu tutup döndürmek çok iyi oluyor :) elinize sağlık hocam. Genelleme şeklinde verdiğiniz eşitliği de önceki çözdüğümüz problemlerde olduğu gibi hipergeometrik yaklaşımla ispatlayabiliriz sanırım.
-
Hocam, ben de simülasyonunu yaptım formüllerin Matlab ile(1.000.000 deneme); muhtemelen bir sıkıntı yok :)
-
Mantık açısından 5. sorunun çözümü doğru, ancak anlayamadığım bir nokta var. Kişinin, 4 adımda karenin etrafını dolaşma olayına A dersek
s(A) = 2 ( biri saat yönünde,diğeri tersi yönde )
P(A) = 2/44 ve P(A) = s(A)/s(E) olduğundan s(E) = 44 olması gerekir. Ancak bu kimse, her zaman 4 nokta arasında seçim yapamaz. Örneğin, ilk adımda yukarı giderse, ikinci adım için sol,sağ ve aşağı olmak üzere 3 seçimi var. Yani 4 adımı 44 farklı şekilde seçemeyiz. Bunu nasıl açıklayabiliriz?
Bu arada 1. sorunun çözümünde üçgenin alanı hesaplanırken taban uzunluğu 11/2 alınmış, 9/2 olması gerekiyor ( 6-3/2=9/2 ). Bu durumda istenilen olasılık 27/128 çıkıyor.
-
Diğerlerine göre daha kolay bir soru, 2000 Ulusal Matematik Olimpiyatından.
Kenar uzunlukları 3, 7 ve 8 olan bir üçgenin içinden gelişigüzel alınan bir noktanın, köşelerden en az birine olan uzaklığının 1'den daha küçük olma olasılığı nedir?
Bu sorudan türetilebilecek başka bir soru
Kenar uzunlukları 4,5,8,9 olan bir kirişler dörtgeninin içinde alınan bir noktanın köşelerden birine uzaklığının 1 veya daha küçük olma olasılığı nedir?
-
Ferhat; Örnek uzaydaki elemanlar birbirleri ile aynı ağırlığa/olasılığa sahip değilse, olasılıklarını küme yöntemi ile hesaplayamayız. Örneğin, Elimizde hileli bir para olsun. Yazı gelme olasılığı 0.3, tura gelme olasılığı 0.7. Örnek uzayın neyden oluştuğu belli; {yazı,tura}; Şimdi sadece istediğimiz sonucun eleman sayısını örnek uzaya bölerek elde edebilir miyiz :)
Aslında bunun örnek uzayı şu şekildedir: {Yazı,Yazı,Yazı,Tura,Tura,Tura,Tura,Tura,Tura,Tura} (Bu sadece bir gerçekleme)
Yukarı çıktıktan sonra, sağa, sola yada aşağı gitme olasılıları 1/3'e çıkıyor. Köşeye gelse 1/2'ye çıkar; çünkü 2 olasılık kalır.
P(Yukarı-Sol-Sağ-Sol) = 1/4*1/3*1/2*1/3 bu da herhangi bir P(A-B-C-D) yönüyle aynı olasılığa eşit değildir.
Yani P(Yukarı-Yukarı-X-X) = 0 gibi olasılıkların ağırlıkları diğerlerine dağılıyor. Böylece ağırlık dengesi korunmuş oluyor.
-
Hocam, ben de simülasyonunu yaptım formüllerin Matlab ile(1.000.000 deneme); muhtemelen bir sıkıntı yok :)
sayın hocam, yaptığınız simülasyonların dosyalarını bana da gönderebilir misiniz?
veya buraya eklerseniz, indirip incelemek istiyorum..
-
times : deneme sayımız
n : kişi sayısı
t_lim : dk toleransı
Matlab kodu:
n = 6;
times = 1000000;
t_lim = 10;
t_lim = t_lim/60;
count = 0;
for i = 1:times
u = rand(1,n);
if max(u) - min(u) <= t_lim
count = count + 1;
end
end
emprical = count/times
theoric = (n*t_lim^(n-1))*(1-t_lim) + t_lim^n