Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Kasım 14, 2010, 04:44:43 ös

Başlık: $3^n$ Çarpanı {çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 14, 2010, 04:44:43 ös

n bir tamsayı olmak üzere 3ⁿ sayısı, 1.3.5...97.99 çarpımının bir çarpanı ise n nin en büyük değeri nedir?

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: orhangokce - Kasım 14, 2010, 10:59:00 ös

cevap 27 mi?
şimdi de 39 çıktı;) :o

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 15, 2010, 12:06:48 öö

cvp 26 olacak hocam.

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: orhangokce - Kasım 15, 2010, 01:15:33 öö

burada nerede hata var anlayamadım_?

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 15, 2010, 05:03:19 öö

Elinize sağlık hocam. çözümünüzde 9a şeklindeki sayıları sayarken a = 1, 3, 5, 7, 9 durumlarını saymışsınız. ayrıca a = 11 yazarsak 99 = 3.3.11  şeklinde ifade edilir. Buradaki 3 çarpanlarından sadece birini incelemişsiniz. İki tane 3 çarpanı olduğundan cevap 25 değil, 25 + 1 = 26 olur.

2. yol: 1.3.5...97.99 = 99!/(2.4.6...98) = 99!/[2⁴⁹.49!] biçiminde yazalım. De Polignac  formülüne göre

99! içindeki 3 çarpanlarının sayısı = 33 + 11 + 3 + 1 = 48
49! içindeki 3 çarpanlarının sayısı = 16 + 5 + 1 = 22

olduğundan 99!/[2⁴⁹.49!] içindeki 3 çarpanlarının sayısı = 48 - 22 = 26 olur. Yani en fazla n = 26 dır.

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: orhangokce - Kasım 16, 2010, 07:40:55 ös

Aslında 2. yolu da düşünmüştüm ama orada önce 39 buldum sonra hatamı anlayınca tekrar ilk yola döndüm.
De Polignac formülünü de öğrenmem gerekir.

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: Lokman Gökçe - Kasım 16, 2010, 08:30:27 ös

De Polignac, ismini pek bilmesek de aslında sıkça kullandığımız bir formüldür. Örnekle açıklayalım:

25! içindeki 3 çarpanlarının sayısını bulmak istiyoruz. Önce 25/3 ün tam kısmını buluruz. Bu 8 dir.
Sonra 8/3 ün tam kısmını buluruz. Bu da 2 dir.
2/3 ün tam kısmı 0 olduğundan bundan sonra işlem yapmayız.
Bu tam kısımların toplamı 8 + 2 = 10  dur. Demek ki 25! içinde 10 tane 3 çarpanı vardır, deriz. İşte bu De Polignac formülünün bir uygulaması :)

Başlık: Ynt: 3^n Çarpanı
Gönderen: orhangokce - Kasım 16, 2010, 09:20:36 ös

Biraz araştırınca aşağıdaki bilgiyi de buldum:
Bugün hala sonsuz tane elemanı olduğu kesin olarak ispatlanmayan (ama öyle olduğu tahmin edilen) bir diğer küme de farkı 2n olan asal çiftlerinin oluşturduğu kümelerin hepsinin sonsuz tane eleman içerdiği sanısı.Bu kestirimi ortaya atarak problemi genel bir boyuta taşıyansa da Alphonse de Polignac (1849). Örneğin Kuzen asallar olarak bilinen aralarındaki fark 4 olan asal sayıların oluşturduğu küme sonsuz eleman içerir mi?