Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Kombinatorik => Konuyu başlatan: senior - Eylül 10, 2010, 12:16:57 öö
-
Tavla zarını (yüzlerinde 1,2,4,3,5,6 sayıları var ve hepsi eşit olasılıkta) ardarda atarak bir oyun oynuyoruz. Eğer bir önceki attığımız zardan daha büyük veya eşitse atmaya devam ediyoruz; taki küçük gelene kadar. Oyunun ortalama kaç atışta bitmesini beklersiniz?
(Mesela, attığımız zarlar sırasıyla 3,3,4,6,6,1 ise 6'dan sonra 1 geldiği için oyun biter)
-
Çözümü paylaşmanın zamanı geldi sanırım :)
Soru Olasılık Teorisindeki Beklenen Değer (Expected Value) ile alakalıdır.
İstenilen sonuca X diyelim. Yani oyunun başındayız ve oyunun ortalama X elde bitmesini bekliyoruz.
-- Attığımız zar 1 ise(1/6 olasılıkla), sonra atacağımız zar hiçbir şekilde oyunu bitiremez. Çünkü bütün zarlar 1'den büyük ya da 1'e eşit. Yani başladığımız yere geri döndük. Oyunun geri kalanının yine X elde bitmesini bekleriz.
-- Attığımız zar 2 ise(1/6 olasılıkla), sonra atacağımız zar ancak ve ancak 1 ise oyun biter. Değilse, oyun devam eder. Bu aşamada bir önceki attığımız zar 2 olduğundan, şimdiki beklentimiz biraz daha değişik olacaktır. Bu beklentiye de X2 diyelim.
-- Benzer şekilde şu tanımı yapabiliriz: Bir önceki el attığımız zar k ise, bundan sonra oyunun Xk elde bitmesini bekleriz.
O zaman, X = (1/6)X + (1/6)X2 + ... + (1/6)X6 + 1 yani
(5/6)X = (1/6)X2 + ... + (1/6)X6 + 1 (E1) şeklinde yazılabilir.
Yani 1/6 ihtimalle oyunun geri kalanının X elde, 1/6 ihtimalle oyunun geri kalanının X2 elde ... vs bitmesi gerekir. Olasılıkları ile toplayıp, zarı attığımız eli de eklersek( yani + 1) yukarıdaki eşitliği elde ederiz.
Diyelim ki, bir önceki el 2 attık. Ve buradan sonra oyunun kaç elde biteceğini merak ediyoruz. Benzer mantıkla,
1 gelirse, oyun direkt biter, yani oyunun geri kalanı diye bir şey kalmaz (1/6 olasılık)
2 gelirse, oyun devam eder, oyunun geri kalanının X2 elde bitmesini bekleriz. (1/6 olasılık)
3 gelirse, oyun devam eder, oyunun geri kalanının X3 elde bitmesini bekleriz. (1/6 olasılık)
...
Zarı attığımız eli de sayarsak, benzer şekilde aşağıdaki eşitlik yazılabilir.
X2 = (1/6)X2 + (1/6)X3 + ... + (1/6)X6 + 1, yani
(5/6)X2 = (1/6)X3 + ... + (1/6)X6 + 1 (E2)
E1 ve E2 eşitlikleri birleştirilirse,
X = (6/5)X2 elde edilir.
Benzer şekilde,
X2 = (6/5)X3
X3 = (6/5)X4
...
X5 = (6/5)X6 'da yazılabilir. Taraf tarafa çarparsak,
X = (6/5)5X6
Tek kalan X6'yı hesaplamak. Bir önceki el zarımız altı gelmiş, bundan sonra oyunun kaç elde bitmesini bekliyoruz? 6 gelirse devam eder, başka bir zar gelirse oyun biter.
5/6 olasılıkla 1 el,
(1/6)*(5/6) olasılıkla 2 el,
(1/6)2*(5/6) olasılıkla 3 el
...
O zaman,
X6 = (5/6) + (1/6)*(5/6)*2 + (1/6)2*(5/6)*3 ... = (5/6)*[1 + 2x + 3x2 + ... ] (x=1/6)
X6 = (5/6)*[x + x2 + x3 + ... ]' ( ' işareti türev anlamında )
X6 = (5/6)*[x/(1-x)]' = (5/6)/(1-x)2 = 6/5
O zaman, X = (6/5)6 ~ 2.98 (Yan oyunun yaklaşık 3 elde bitmesini bekleriz)
Ayrıca, zarın n yüzü olsun, benzer bir hesap ile oyunun (1+1/(n-1))n elde bitmesi beklenir(bu kısmı da artık size bırakıyorum :) ). n için limit alınırsa bu sayının e olduğu görülür.
-
Paylaştığın için teşekkürler Güneş kardeşim, ilginç bir çözümü varmış :)
-
Estaf. Hocam; ilginçliği devam ettirip sorunun orjinaline gidelim :)
Bu oyun sonunda attığımız zarların toplamının ne olmasını bekleriz?
-
Bir zarı attığımızda gelen sayının (1+2+3+4+5+6)/2 = 7/2 olmasını bekleriz. Aslında beklemeyiz :) ama 100000 kez atıp ortalamasını alırsak 7/2 olmasını bekleriz.
Oyunun da (6/5)5 elde bitmesini bekliyorduk.
O zaman oyun sonunda (6/5)5 x 7/2 ~ 10.45 puan toplamayı bekleriz.