Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Haziran 05, 2010, 01:09:49 öö

Başlık: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2 {Çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 05, 2010, 01:09:49 öö

Fonksiyonel denklem problemleri ile ilgili yeni bir başlık açıyoruz. (diğeri 4 sayfa olmuş). 'Fonksiyonel denklemlere çalışmaya ilk olarak nereden başlayalım?' sorusu hepimizin kafasını kurcalamaktadır. İşte bu başlıkta, başlangıç düzeyi problemlerle başlayarak daha zor sorulara doğru emin adımlarla ilerleyeceğiz. Problem çözmenin yanında, çözüm yöntemlerinin de kavratılması amacına uygun olan bir konu sırası izlemeye özen göstereceğiz. Ayrıca, bu çalışmanın sonunda çözdüğümüz problemlerin tamamını PDF formatında bir kitapçık halinde sunacağız. Çözümlere katkılarınızı bekliyoruz, hepimize kolay gelsin :)

Öncelikle yerine koyma metodu olarak bilinen temel bir yöntemle ilgili problemler sunacağız. Burada değişkenlere x =0, x = 1 ya da herhangi bir x = a değeri verilerek çözüme gidilir.

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: senior - Haziran 05, 2010, 11:23:20 öö

1.soru --
f(ax) = a^kf(x). Burada f(x) = A denkleminin çözümü x=x₀ olsun (x,A e R);
O zaman f(ax₀) = a^kf(x₀) = h(a)
Yani f(xx₀) = h(x) = Ax^k
A değişken olduğu, ve f(x) fonk. her yerde tanımlı old. için x₀ = 1 olsun; yani f(1) = A
O zaman f(x) = h(x) = Ax^k'dır.
Gelelim soruya; k = 3, f(5) = 1000; f(4) = ?
f(5) = A5³ = 1000 ==> A = 8; ==> f(4) = 8*4³=512

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 06, 2010, 08:19:09 ös

tam çözümleri ilave edeyim:

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 06, 2010, 08:19:49 ös

çözüm 2 ve 3:

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 06, 2010, 08:20:29 ös

soru 4-5:

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: senior - Haziran 13, 2010, 11:07:27 öö

4.soru
a sabit ve > 0, ve x = 1 hariç , f(a) = log_x^a f(x) ==> f(x) = f(a)/log_x^a = Alog_a^x; Tabi f(1) = 0 durumunu unutmadan.

5.soru
x = 1 --> f(y^1/3) = 4Ay ( A = f(1)^1/3) --> f(x) = 4Ax³
, yerine koyarsak 4Axy = 4yx(4A)^1/3 --> A = 2 olur. Yani f(x) = 8x³
Problem 1/3 yerine, 1/a için sorulsaydı cevap 4^a/a-1x^a olur

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: idensu - Haziran 13, 2010, 11:04:39 ös

tüm fonksiyonları bulunuz dediğinden f=0 fonksiyonunu da almamız gerekir. çözümlere bunu eklemek daha doğru olacak sanırım.

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: senior - Haziran 13, 2010, 11:41:04 ös

Alıntı yapılan: idensu - Haziran 13, 2010, 11:04:39 ös

tüm fonksiyonları bulunuz dediğinden f=0 fonksiyonunu da almamız gerekir. çözümlere bunu eklemek daha doğru olacak sanırım.

doğru diyorsun, 4.soruda A = 0 olabildiği için f(x) = 0 genel çözüm kümesine dahil; ama 5.soruda ihmalime gelmiş.

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 29, 2010, 07:57:27 ös

Aslında bulunan çözümleri fonksiyonel denklemlerde yerine yazıp denklemi sağlayıp sağlamadığını denemek gereklidir.  5. soruda da böyle bir durum vardır...

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2
Gönderen: Lokman Gökçe - Haziran 29, 2010, 08:02:55 ös

çözüm 5:

Başlık: Ynt: Fonksiyonel Denklem Problemleri 2 {Çözüldü}
Gönderen: Lokman Gökçe - Mart 08, 2011, 11:15:05 ös

Fonksiyonel Denklemler kitapçığı hazırlama işi uzun süredir aklımın köşesinde olan bir meseleydi. Meraklılarını arşive yönlendirelim :)

http://geomania.org/forum/fantezi-cebir-arsivi/fonksiyonel-denklem-problemleri-2154/