Soru 5: Kenar sayısı üçten fazla ve alanı $1 \text{ br}^2$ olan bir dışbükey çokgenin köşelerinden herhangi dördünü köşe kabul eden ve alanı en az $\dfrac{1}{2} \text{ br}^2$ olan bir dörtgen olduğunu gösteriniz.
Problemin, en büyük değer-en küçük değer ilkesi kullanılarak yapılan güzel bir çözümü vardır.
Çözüm: Dışbükey çokgenin birbirine en uzak iki köşesi $A$ ve $B$ olsun. Önce, $[AB]$ nin bir köşegen olduğunu varsayalım. $AB$ doğrusunun farklı taraflarında kalan diğer köşelerden $AB$ doğrusuna inen dikmelerden en uzun olan ikisi $C$, $D$ köşelerinden inen dikmeler olsun. $C$ den geçen $AB$ ye paralel olan doğruyu çizelim. Bu şekilde bir kenarı $[AB]$ olan, $AB$ ye paralel olan diğer kenarı $C$ den geçen dikdörtgeni oluşturalım. $ACB$ üçgeninin alanı, bu dikdörtgenin alanının yarısıdır. Yine $D$ den geçen ve $AB$ ye paralel olan doğruyu çizelim. Bir kenarı $[AB]$ olan, $AB$ ye paralel olan diğer kenarı $D$ den geçen dikdörtgeni oluşturalım. $ABD$ üçgeninin alanı, bu dikdörtgenin alanının yarısıdır. Böylece, $ACBD$ dörtgeni, dışbükey çokgenin alanının en az yarıdır.
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=180.0;attach=16290;image)
En uzak iki nokta $A, B$ olmak üzere $[AB]$ bir kenar olsun. Bu durumda, $AB$ ye en uzak olan $C$ köşesini seçelim. $D$ köşesini de geriye kalan köşelerden biri olarak rastgele seçebiliriz. Bir kenarı $[AB]$ olan, $AB$ ye paralel olan diğer kenarı $C$ den geçen dikdörtgeni oluşturalım. $ACB$ üçgeninin alanı, bu dikdörtgenin alanının yarısıdır. Böylece, $ABC$ üçgeninin alanı dışbükey çokgenin alanının en az yarısıdır. Dolayısıyla $ABCD$ dörtgeninin alanı, dışbükey çokgenin alanının en az yarısıdır.
Kaynak: AoPS (https://artofproblemsolving.com/community/c6h350834p1889105)
Soru 2 için 2. Çözüm:
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=180.0;attach=16292;image)
Yine $I_a$ noktasından $AB$, $AC$, $BC$ doğrularına inen dikme ayaklarını sırasıyla $K, L, G$ ile gösterelim. $I_a$ merkezli dış teğet çemberin yarıçapı $R$ olsun. $AKI_aL$ karesinin bir kenar uzunluğu $R$ dir. $\dfrac{|AD|}{|I_aD|}\leq \sqrt{2} - 1$ olduğunu göstermek için $\dfrac{|AI_a|}{|I_aD|}\leq \sqrt{2} $ olduğunu göstermek gerekli ve yeterlidir. Öte yandan $|AI_a|=R\sqrt{2}$ ve $|I_aD| \geq |I_aG| = R$ olup $\dfrac{|AI_a|}{|I_aD|} \leq \dfrac{R\sqrt{2}}{R}=\sqrt{2}$ elde edilir. Eşitlik durumu $D=G$ çakışması olduğunda sağlanır. Bu ise, $ABC$ dik üçgeninin $|AB|=|AC|$ biçiminde ikizkenar olması demektir.