Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Sayılar Teorisi => Konuyu başlatan: alpercay - Eylül 20, 2009, 12:00:47 öö

Başlık: Asalların Toplamı
Gönderen: alpercay - Eylül 20, 2009, 12:00:47 öö

Sorumuz herhangi bir pozitif tam sayının   asalların toplamı olarak kaç farklı yoldan yazılabileceği ile ilgili.
Örneğin 7 sayısı   2+2+3=2+5=7  şeklinde  3  değişik biçimde,  10 sayısı 
10= 2+2+2+2+2=2+2+3+3=2+3+5=5+5=3+7  şeklinde 5  değişik biçimde yazılabilmekte.Genelleme yapabilir miyiz? Mesela 60 değişik biçimde yazılan sayı hangi sayıdır?Ya da 60 sayısı kaç değişik biçimde yazılır sorularına bir formül üzerinden yanıt verebilir miyiz?(Soruyu Cumhuriyet Gazetesi'nin Bilim Teknik ekinde gördüm.)

Başlık: Ynt: Asalların Toplamı
Gönderen: Metin Can Aydemir - Ocak 10, 2026, 06:25:37 ös

Aslında bunun üretici fonksiyonunu kolayca yazabiliriz.

$S$, pozitif tamsayılardan oluşan bir küme olsun. $n$ doğal sayısının parçalar $S$ kümesinden alınacak şekildeki parçalanışlarının sayısına $p_S(n)$ diyelim. Boş parçalanmayı da dahil ederek $p_S(0)=1$ olarak tanımlıyoruz. Örneğin, $S=\mathbb{P}$ asal sayılar kümesi ise sorudaki örnekteki gibi $p_S(7)=3$ ve $p_S(10)=5$ olacaktır. $p_S(n)$'in üretici fonksiyonu şu şekildedir, $$F_S(q):=\sum_{n\geq 0}p_S(n)q^n=\prod_{r\in S}(1-q^r)^{-1}.$$ Bunu da $(1-q^r)^{-1}=1+q^r+q^{r+r}+q^{r+r+r}+\cdots$ yazarak kolayca görebiliriz.

Dolayısıyla, sorudaki fonksiyonun üretici fonksiyonu da $$F(q):=F_{\mathbb{P}}(q)=\prod_{p\text{ bir asal}}(1-q^p)^{-1}=\frac{1}{(1-q^2)(1-q^3)(1-q^5)(1-q^7)\cdots}$$ şeklindedir. Ne yazık ki parçalanma fonksiyonları için, kapalı bir formül bulunmuyor ($S$'nin sonlu küme olduğu gibi özel durumlar hariç). Örneğin $S=\mathbb{Z}^+$ seçildiğinde bile $p:=p_{\mathbb{Z}^+}$'in kapalı formülü olmadığı gibi birçok özelliği de hâlâ bilinmemektedir. Hatta $p$'nin $3$ modunda sonsuz defa $0$ kalanı verip vermediği bile bilinmemektedir. Dolayısıyla, çok daha rastgele bir küme olan asal sayılar kümesi için $p_S$'nin kapalı bir formülü olması çok da beklenen bir şey değildir.

Tabii alt sınır bulabiliriz. Örneğin, $G(q):=\frac{1}{(1-q^2)(1-q^3)}$ olarak tanımlarsak da bu fonksiyonun katsayıları doğal olarak $F$'ninkinden fazla olamayacaktır. Bu yüzden $$p_{\mathbb{P}}(n)=[q^n]F(q)\geq [q^n]G(q)\geq \left\lfloor\frac{n}{6}\right\rfloor$$ olduğundan $n$'nin asalların toplamı olarak en az $\frac{n}{6}$ farklı şekilde yazılacağını söyleyebiliriz. $G$'ya daha çok terim ekleyerek daha iyi alt sınırlar elde edebiliriz.