Geomania.Org Forumları

Fantezi Geometri => Fantezi Geometri => Konuyu başlatan: gahiax - Ekim 10, 2007, 09:13:43 ös

Başlık: crux-eşkenar üçgen {çözüldü}
Gönderen: gahiax - Ekim 10, 2007, 09:13:43 ös

...

Başlık: Ynt: eşkenar üçgen ispat
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 11, 2007, 11:36:29 öö

AA', BB', CC' noktalarının kesişimi F Fermat noktasıdır (eş açılı nokta). Bu noktanın özelliği olarak AA' = BB' = CC' ve <B'FA = <CFA = < C'FB = 60^o olduğunu biliyoruz. Bu bilgiler altında sorunun hipotezi: AP + BQ + CR = BB' eşitliğine dönüşür.

Şimdi AA' üzerinden keyfi bir P noktası alalım. P den BB' ve CC' doğrularına çizilen dikme ayakları sırasıyla Q ve R olsun. FP doğrusunun QFR açısını iki eş parçaya böldüğü aşikardır. Açıortayın kollarına inen dikmeler eşit uzunlukta olduğundan PQ = PR dir. PQFR dörtgeninde <QFR =120^o olduğundan <QPR = 60^o dir. Dolayısıyla PQR üçgeni eşkenardır. Bu üçgenin soruda aranan eşkenar üçgen olduğunu ispatlayalım.

AP doğru parçasını A noktası etrafında +60^o döndererek AL doğru parçasını oluşturalım. Açık olarak APL üçgeni eşkenardır. <APL = <AFB' = 60^o olduğundan LP//BB' dir. L den, BB' doğrusuna inen dikme ayağı O noktası olsun. PQOL bir dikdörtgendir. O halde AP = PL = QO yazılır. Diğer taraftan PAC ve LAB' (K.A.K) üçgenleri eştir. Dolayısıyla CP = B'L dir. Artık birer dik kenarı ve hipotenüsleri eşit olan OB'L ve RCP dik üçgenlerinin eş olduğunu söyleyebiliriz. B'O = CR buluruz.

AP + BQ + CR = QO + BQ + OB' = BB' elde edilir.

P noktasını keyfi aldığımıza dikkat edilirse, P noktası AA' üzerinde değişse de PQR eşkenarlığı korunur ve AP + BQ + CR = BB' yine sağlanır.