Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: senior - Temmuz 11, 2009, 02:40:00 ös

Başlık: $ax^2+bx+a$ polinomunun köklerinin birim çember üzerinde olması {Çözüldü}
Gönderen: senior - Temmuz 11, 2009, 02:40:00 ös

ax²+bx+a polinomunun köklerinin birim çember üzerinde olması için b ve a arasında nasıl bir ilişki olmalıdır?

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: ibrahimsenturk - Temmuz 14, 2009, 01:46:51 öö

umarım doğru düşünmüşümdür...

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: senior - Temmuz 14, 2009, 02:07:42 ös

karmaşık kökleri düşünmemişsiniz :)

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 15, 2009, 02:26:28 ös

genelliği bozmakdan a > 0 kabul edebilriz.

|b| < 2a iken karmaşık sayı kökler birim çember üzerinde oluyor.

|b| = 2a iken çift katlı reel kökler vardır. x = 1, x = -1 sayıları da açıkça birim çember üzerindedir.

1.hal için ip ucu verelim: karmaşık kökler için diskriminant = b² - 4a² nin negatif olması halini inceleyiniz.

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: senior - Temmuz 19, 2009, 09:52:33 öö

lokman hocam, elinize sağlık. Diğer yolu da ben paylaşayım
a ve b reel olduğu için kökler karmaşık kökler eşlenik halinde olur. (karmaşık olması için disk < 0,
Reel kökler için zaten ibrahim bey çözmüş)
Bir kök  z ise diğer kök z* 'tir. zz* = a/a = 1 ve zz* = |z|² --> |z|² = 1 yani |z| = 1 ve |z*|=1

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 20, 2009, 04:01:38 ös

yani karmaşık sayı kökler varsa bunlar kesinlikle birim çember üzerine düşer diyoruz. sizin çözümünüz de güzel Güneş kardeşim. Elinize sağlık :)

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: senior - Temmuz 20, 2009, 04:21:00 ös

Lokman hocam, çözümü tam yazmadınız, benim gibi düşündüyseniz affola :)
Soruya ufak bi ekleme yapalım, bu da benzer bir yolla çözülüyor:
ax³+bx²+bx+a polinomunun köklerinin birim çember üzerinde olması için a ve b arasında nasıl bir ilişki olmalıdır?

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 20, 2009, 04:45:37 ös

diskriminantın üç durumunu inceledim ben. D > 0 için kökler mutlak değerce 1'den büyük oluyor. yani |b| > 2a halinde kökler birim çember üzerinde değildir.

D = 0 için çakışık kökler vardır. yani |b| = 2a halinde kökler açıkça 1 ya da -1 dir.

D < 0 için karmaşık kökler vardır. b² - 4a² < 0 dersek buradan |b| < 2a durumunu incelemek gerekiyor. ikinci dereceden denklemin köklerini veren bağıntıyı yazıp mutlak değerini 1'e eşitledim. Özdeş olarak sağlanıyor. Yani 1 = 1 çıkıyor. Demek ki |b| < 2a iken karmaşık kökler elde edilir ve daima birim çember üzerine bulunurlar, dedim :)

Bunların hepsini birleştirirsek ax² + bx + a = 0 denkleminde köklerin birim çember üzerinde olması için gerek ve yeter şart |b| < 2a (köçük veya eşit olabilir) eşitsizliğinin sağlanmasıdr.

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: Lokman Gökçe - Temmuz 20, 2009, 04:54:37 ös

Diğer 3. dereceden denklem sorusunda da köklerden birisi açıkça -1 dir. Yazarsak sağladığı görülüyor. Bu kök zaten birim çember üzerindedir. Bundan sonrasında polinom bölmesi yapılarak 2. dereceden bir denkleme düşürürüz. Ya da doğrudan çarpanlarına ayırırız:

(x + 1).(ax² + (b - a)x + a) = 0

denklemini buluruz. İkinci derece denklemin baş katsayısı ve sabit terimi eşit olduğundan önceki ispatladığımız özellikten dolayı |b - a| < 2a olması, köklerin birim çember üzerinde bulunması için gerekli ve yeterdir.

Başlık: Ynt: Birim Çember
Gönderen: senior - Temmuz 20, 2009, 05:32:36 ös

Tebrikler hocam, güzel tespit