$ABC$ üçgeninin iç bölgesinde alınan $P$ noktası için $\angle BAP = a_1, \angle ACP = a_2, \angle CBP = a_3, \angle CAP = b_1, \angle BCP = b_2, \angle ABP = b_3$ olmak üzere; Ceva Teoreminin Trigonometrik Hali gereğince,
$$\prod_{i=1}^{3}\frac{\sin a_i}{\sin b_i} = \frac{\sin a_1}{\sin b_1}\cdot\frac{\sin a_2}{\sin b_2}\cdot\frac{\sin a_3}{\sin b_3} = 1$$
(https://geomania.org/forum/index.php?action=dlattach;topic=1556.0;attach=14022;image)
Bu eşitlikte $a_i$ler kendi aralarında ve $b_j$ler kendi aralarında yer değiştirdiğinde eşitlik korunur; yani grup içindeki açıların sırası önemsizdir. Bir soru tipi, iki gruptan (A grubu: $a_1,a_2,a_3$ ve B grubu: $b_1,b_2,b_3$) oluşur.
Gösterim. Bir soruyu $(\ \cdots\ :\ \cdots\ )\Longrightarrow(\ \cdots\ )$ biçiminde yazalım. Buradaki kurallar:
- Bir paket $(\ \cdots\ )$ bir açı takımıdır; içindeki $:$ işareti A grubu ile B grubunu ayırır.
- Grup içindeki açıların sırası önemsizdir.
- $\Longrightarrow$ solundaki paket verilen açıları, sağındaki paket bulunacak açıları gösterir.
- Sağ pakette $:$ varsa iki bilinmeyen farklı gruplardandır (2+2 tipi, tek çözüm). Sağ pakette $:$ yoksa iki bilinmeyen aynı gruptandır ve sıraları serbesttir; bu tipler numaraya $*$ eklenerek gösterilir (3+1 tipi).
Bir modelin başlığı, o modelin altı açısını tam olarak verir. Açılar üçgen şartlarını sağlamak kaydıyla parametriktir (örneğin $t$ ve $30^\circ-t$ bir arada ise $0^\circ<t<30^\circ$).
Aşağıda bilinen model soruları ve her modelin türettiği soru tipleri listelenmiştir. Her model için 2+2 tipinde $9$, 3+1 tipinde ($*$) $6$ soru tipi bulunur.
Model 1: $(t,\ 30^\circ,\ 90^\circ-3t\ :\ 2t,\ 30^\circ-t,\ 30^\circ+t)$
$\begin{array}{llcl}
1.1 & (t, 30^\circ : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (90^\circ-3t : 30^\circ+t) \\
1.2 & (t, 30^\circ : 2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (90^\circ-3t : 30^\circ-t) \\
1.3 & (t, 30^\circ : 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (90^\circ-3t : 2t) \\
1.4 & (t, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (30^\circ : 30^\circ+t) \\
1.5 & (t, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (30^\circ : 30^\circ-t) \\
1.6 & (t, 90^\circ-3t : 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (30^\circ : 2t) \\
1.7 & (30^\circ, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ+t) \\
1.8 & (30^\circ, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-t) \\
1.9 & (30^\circ, 90^\circ-3t : 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 2t) \\
1.10^* & (t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-t, 30^\circ+t) \\
1.11^* & (t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ+t) \\
1.12^* & (t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ-t) \\
1.13^* & (t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (30^\circ, 90^\circ-3t) \\
1.14^* & (30^\circ : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ-3t) \\
1.15^* & (90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 30^\circ) \\
\end{array}$
Model 2: $(t,\ 30^\circ-2t,\ 90^\circ+t\ :\ 2t,\ 30^\circ-2t,\ 30^\circ)$
$\begin{array}{llcl}
2.1 & (t, 30^\circ-2t : 2t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (90^\circ+t : 30^\circ) \\
2.2 & (t, 30^\circ-2t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ+t : 30^\circ-2t) \\
2.3 & (t, 30^\circ-2t : 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ+t : 2t) \\
2.4 & (t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t : 30^\circ) \\
2.5 & (t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t : 30^\circ-2t) \\
2.6 & (t, 90^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t : 2t) \\
2.7 & (30^\circ-2t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ) \\
2.8 & (30^\circ-2t, 90^\circ+t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-2t) \\
2.9 & (30^\circ-2t, 90^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 2t) \\
2.10^* & (t, 30^\circ-2t, 90^\circ+t : 2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t, 30^\circ) \\
2.11^* & (t, 30^\circ-2t, 90^\circ+t : 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ) \\
2.12^* & (t, 30^\circ-2t, 90^\circ+t : 30^\circ) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ-2t) \\
2.13^* & (t : 2t, 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t, 90^\circ+t) \\
2.14^* & (30^\circ-2t : 2t, 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ+t) \\
2.15^* & (90^\circ+t : 2t, 30^\circ-2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 30^\circ-2t) \\
\end{array}$
Model 3: $(t,\ 60^\circ-4t,\ 60^\circ+t\ :\ 3t,\ 30^\circ-2t,\ 30^\circ+t)$
$\begin{array}{llcl}
3.1 & (t, 60^\circ-4t : 3t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (60^\circ+t : 30^\circ+t) \\
3.2 & (t, 60^\circ-4t : 3t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ+t : 30^\circ-2t) \\
3.3 & (t, 60^\circ-4t : 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ+t : 3t) \\
3.4 & (t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t : 30^\circ+t) \\
3.5 & (t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t : 30^\circ-2t) \\
3.6 & (t, 60^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t : 3t) \\
3.7 & (60^\circ-4t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ+t) \\
3.8 & (60^\circ-4t, 60^\circ+t : 3t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-2t) \\
3.9 & (60^\circ-4t, 60^\circ+t : 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t : 3t) \\
3.10^* & (t, 60^\circ-4t, 60^\circ+t : 3t) & \Longrightarrow & (30^\circ-2t, 30^\circ+t) \\
3.11^* & (t, 60^\circ-4t, 60^\circ+t : 30^\circ-2t) & \Longrightarrow & (3t, 30^\circ+t) \\
3.12^* & (t, 60^\circ-4t, 60^\circ+t : 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (3t, 30^\circ-2t) \\
3.13^* & (t : 3t, 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (60^\circ-4t, 60^\circ+t) \\
3.14^* & (60^\circ-4t : 3t, 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 60^\circ+t) \\
3.15^* & (60^\circ+t : 3t, 30^\circ-2t, 30^\circ+t) & \Longrightarrow & (t, 60^\circ-4t) \\
\end{array}$
Model 4: $(t,\ 30^\circ-t,\ 90^\circ-t\ :\ 2t,\ 30^\circ-t,\ 30^\circ)$
$\begin{array}{llcl}
4.1 & (t, 30^\circ-t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (90^\circ-t : 30^\circ) \\
4.2 & (t, 30^\circ-t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ-t : 30^\circ-t) \\
4.3 & (t, 30^\circ-t : 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (90^\circ-t : 2t) \\
4.4 & (t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (30^\circ-t : 30^\circ) \\
4.5 & (t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-t : 30^\circ-t) \\
4.6 & (t, 90^\circ-t : 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-t : 2t) \\
4.7 & (30^\circ-t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ) \\
4.8 & (30^\circ-t, 90^\circ-t : 2t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 30^\circ-t) \\
4.9 & (30^\circ-t, 90^\circ-t : 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t : 2t) \\
4.10^* & (t, 30^\circ-t, 90^\circ-t : 2t) & \Longrightarrow & (30^\circ-t, 30^\circ) \\
4.11^* & (t, 30^\circ-t, 90^\circ-t : 30^\circ-t) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ) \\
4.12^* & (t, 30^\circ-t, 90^\circ-t : 30^\circ) & \Longrightarrow & (2t, 30^\circ-t) \\
4.13^* & (t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (30^\circ-t, 90^\circ-t) \\
4.14^* & (30^\circ-t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ-t) \\
4.15^* & (90^\circ-t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ) & \Longrightarrow & (t, 30^\circ-t) \\
\end{array}$
Model 5: $(t,\ r,\ 90^\circ-r-t\ :\ t,\ r,\ 90^\circ-r-t)$ (iki grup özdeş)
$\begin{array}{llcl}
5.1 & (t, r : t, r) & \Longrightarrow & (90^\circ-r-t : 90^\circ-r-t) \\
5.2 & (t, r : t, 90^\circ-r-t) & \Longrightarrow & (90^\circ-r-t : r) \\
5.3^* & (t, r, 90^\circ-r-t : t) & \Longrightarrow & (r, 90^\circ-r-t) \\
5.4^* & (t, r, 90^\circ-r-t : r) & \Longrightarrow & (t, 90^\circ-r-t) \\
5.5^* & (t, r, 90^\circ-r-t : 90^\circ-r-t) & \Longrightarrow & (t, r) \\
\end{array}$
Not: Grupların yer değiştirmesiyle (A ile B) elde edilen soru tipleri farklı üçgenler belirtse de, basit sentetik ya da trigonometrik işlemlerle birbirine dönüştürülebildiğinden aynı model altında toplanmıştır. Ayrıca aynı soruyu ifade eden başka parametrik açılar da vardır; örneğin $t \mapsto 30^\circ-t$ değişimiyle $(t, 30^\circ, 90^\circ-3t : 2t, 30^\circ-t, 30^\circ+t)$ ile $(30^\circ-t, 30^\circ, 3t : 60^\circ-2t, t, 60^\circ-t)$ aynı modeli belirtir.
Bir soru tipinin hangi model(ler)e ait olduğunu bulmak için model-bulucu (https://geomania.org/forum/index.php?action=model-bulucu#20,10,30,40) sayfasındaki programı kullanabilirsiniz.
Örnek: meşhur $10^\circ, 10^\circ, 10^\circ, 20^\circ$ sorusu ($t=10^\circ$) Model 2'nin $2.1$ tipine uyar:
$$(10^\circ, 10^\circ : 20^\circ, 10^\circ)\Longrightarrow(90^\circ+t : 30^\circ-2t) = (100^\circ : 10^\circ)$$
Not 1:
Diğer modeller aşağıdaki iletide (https://geomania.org/forum/index.php?topic=1556.msg7037#msg7037) verilmiştir.
Not 2:
model-bulucu (https://geomania.org/forum/index.php?action=model-bulucu#20,10,30,40)
Not 3:
Sorulara verilen çözümler, bu iletide (https://geomania.org/forum/index.php?topic=1556.msg14436#msg14436) toplanmıştır.
Not 4:
* ile gösterilen soruların genel çözümü; aşağıdaki iletide (https://geomania.org/forum/index.php?topic=1556.msg27123#msg27123) verilmiştir.
$A:B$ gruplarından $2$ şer açı verildiği durumda, tek çözüm oluyor.
Gruplardan birinden $3$, diğerinden $1$ açı verildiğinde ise çözüm sayısı iki oluyor.
Bu durumu önce trigonometrik olarak ispatlayalım.
$\dfrac {\sin a_1}{\sin b_1}\dfrac {\sin a_2}{\sin x}\dfrac {\sin a_3}{\sin y} = 1$ denklemini çözmeye çalışıyoruz.
$\dfrac {\sin a_1}{\sin b_1}\dfrac {\sin a_2}{\sin x}\dfrac {\sin a_3}{\sin y} = \dfrac {\sin a_1}{\sin b_1}\dfrac {\sin a_2}{\sin b_2}\dfrac {\sin a_3}{\sin b_3} = 1$ olduğunu biliyoruz.
Bu durumda, $\sin x \sin y = \sin b_2 \sin b_3$ ve $x+y = b_2 + b_3$ elimizdeki bilgiler.
Trigonometrik dönüşümle $\cos (x-y) - \cos (x+y) = \cos (b_2 - b_3) - \cos (b_2 + b_3)$, buradan da $\cos (x-y) = \cos (b_2-b_3)$ elde edilir.
$x-y = |b_2 - b_3|$ ve $x+y = b_2 + b_3$ denklem sisteminin çözümü $(x,y)=(b_2,b_3)$ ya da $(x,y)=(b_3, b_2)$ dir. Bu da iki çözüm olduğu anlamına gelir.
Bu durumu geometrik olarak da şu şekilde gösterebiliriz.
$AC$ üzerinde, $\angle ADP = b_2$ olacak şekilde $D$ noktası alalım. $D$ noktası $C$ ile çakışık ise cevabımız $(x,y)=(b_3, b2)$ dir.
Değilse, problemimiz $(a_1, a_2 : b_1, b_3) \Longrightarrow (a_3:b_2)$ problemine döner.
Bu durumda, $\angle BDP = \angle BCP = a_3$ olduğu için $C,D,P,B$ çembersel olur. Buradan da $\angle ADP = \angle CBP = b_2$ olur.
import olympiad;
pair A = (4,8);
pair C = (0,0);
pair B = (10,0);
pair P = (4.2,3.8);
path cc = circumcircle(C, P, B);
path lineAC = (C + 2*(A-C)) -- (A + 2*(C-A));
pair[] ip = intersectionpoints(cc, lineAC);
real d0 = (ip[0].x-C.x)*(ip[0].x-C.x) + (ip[0].y-C.y)*(ip[0].y-C.y);
real d1 = (ip[1].x-C.x)*(ip[1].x-C.x) + (ip[1].y-C.y)*(ip[1].y-C.y);
pair D = ip[0];
if (d0 < d1) D = ip[1];
draw(A--B--C--cycle, black+1);
draw(A--P, black+1);
draw(B--P, black+1);
draw(C--P, black+1);
// yeni cizilen adimlar (kirmizi), cevrel cember kesikli
draw(cc, red+dashed);
draw(D--P, red+1);
draw(D--B, red+1);
markangle("$b_1$", P, A, B, radius=0.8, black);
markangle("$a_1$", C, A, P, radius=0.8, black);
markangle("$y$", P, C, A, radius=0.8, red);
markangle("$a_3$", B, C, P, radius=0.8, black);
markangle("$a_2$", A, B, P, radius=0.8, black);
markangle("$x$", P, B, C, radius=0.8, red);
markangle("$b_2$", P, D, A, radius=0.5, red);
markangle("$a_3$", B, D, P, radius=0.5, blue);
dot("$D$", D, dir(180), red);
dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SE);
dot("$C$", C, SW);
dot("$P$", P, dir(50));
$D$ noktası $AC$ nin uzantısı üzerinde ($C$ nin ötesinde) ise durum şu şekilde görünür:
import olympiad;
pair A = (4,8);
pair C = (0,0);
pair B = (10,0);
pair P = (6.2,2.4);
path cc = circumcircle(C, P, B);
path lineAC = (C + 3*(C-A)) -- (A + 0.3*(A-C));
pair[] ip = intersectionpoints(cc, lineAC);
real d0 = (ip[0].x-C.x)*(ip[0].x-C.x) + (ip[0].y-C.y)*(ip[0].y-C.y);
real d1 = (ip[1].x-C.x)*(ip[1].x-C.x) + (ip[1].y-C.y)*(ip[1].y-C.y);
pair D = ip[0];
if (d0 < d1) D = ip[1];
draw(A--B--C--cycle, black+1);
draw(A--P, black+1);
draw(B--P, black+1);
draw(C--P, black+1);
draw(C--D, black+dashed);
// yeni cizilen adimlar (kirmizi), cevrel cember kesikli
draw(cc, red+dashed);
draw(D--P, red+1);
draw(D--B, red+1);
markangle("$b_1$", P, A, B, radius=0.8, black);
markangle("$a_1$", C, A, P, radius=0.8, black);
markangle("$y$", P, C, A, radius=0.7, red);
markangle("$a_3$", B, C, P, radius=0.7, black);
markangle("$a_2$", A, B, P, radius=0.8, black);
markangle("$x$", P, B, C, radius=0.8, red);
markangle("$b_2$", P, D, A, radius=0.6, red);
markangle("$a_3$", B, D, P, radius=0.6, blue);
dot("$D$", D, SW, red);
dot("$A$", A, N);
dot("$B$", B, SE);
dot("$C$", C, dir(120));
dot("$P$", P, dir(60));
Bu yaptığımız geometrik çözümden çıkan sonuç, bu tip soruları (x.10, x.11., x.12, x.13, x.14, x.15 soruları) diğer 9 sorudan birine benzeterek çözebiliriz.