Geomania.Org Forumları

Fantezi Cebir => Fantezi Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ekim 19, 2007, 10:42:35 ös

Başlık: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 19, 2007, 10:42:35 ös

(Akdeniz Ünv. Mat. Olimpiyatı-2001): x,y gerçel sayıları x³ - 3xy² = 10 ve y³ - 3yx² = 5 eşitliklerini sağlıyorsa x² + y² ifadesi aşağıdakilerdan hangisine eşittir?

13      8      10      5      18

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Mathopia - Ekim 19, 2007, 10:58:39 ös

her iki ifadenin karelerı alınıp taraf tarafa toplanırsa (x²+y²)³=125 çıkar ki cvp 5 tir.

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 19, 2007, 11:20:08 ös

Zihninize sağlık hocam, ben de şöyle düşündüm: i² = -1 olmak üzere ikinci denklemi -i ile çarparsak 3ix²y + (iy)³ = -5i olur.Bu yeni denklem, ilk denklem ile toplanırsa (x + iy)³ = 10 - 5i olur. Her iki tarafın modülü (uzunluğu) alınırsa
|x + iy|³ = (125)^1/2 ve buradan da x² + y² = 5 çıkar.

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 20, 2007, 12:13:51 öö

Soru (L.GÖKÇE): x,y reel sayılar olmak üzere

x² - y² = 8  ve  2xy = 15  ise

a) x² + y² = ?     b) denklemi sağlayan tüm (x,y) çözümlerini bulunuz.

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Mathopia - Ekim 20, 2007, 12:17:25 öö

a seçeneği yukardaki çözümler dıkkate alınarak çözüldüğünde 17 çıkmaktadır.

b seçeneğınde ıse çözümlerden biri x²-y²=8  ile x²+y²=17 taraf tarafa toplandığında (5.2^1/2/2,3.2^1/2/2) çıkmaktadır.

unutmuşum  diğer çözümde  (-5.2^1/2/2,-3.2^1/2/2) olacaktır.

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 21, 2007, 03:03:46 ös

2.yol:

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 21, 2007, 03:09:14 ös

Bir soru daha sorarak, meseleyi sonuca bağlayalım:

x³ - 3xy² = 8 , 3x²y - y³ = 0 denklem sistemini sağlayan tüm (x,y) reel ikililerini bulunuz.

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: senior - Ekim 22, 2007, 08:38:09 ös

y=0, x=2 bi çözüm. y, 0 değilse;
3x²=y², diğer denklemde yerine koyarız:
-8x³=8 ==> x=-1 ve y=3

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ekim 22, 2007, 08:54:45 ös

güneş kardeş, üç tane (x,y) ikilisi olacak.. bi de, x = -1, y = 3 denklemi sağlamaz. yorulmadan çözersin sen bu soruyu :).kolay gelsin...

Başlık: Ynt: AÜMO-2001
Gönderen: Lokman Gökçe - Ağustos 16, 2015, 02:36:27 öö

Alıntı yapılan: scarface - Ekim 21, 2007, 03:09:14 ös

Bir soru daha sorarak, meseleyi sonuca bağlayalım:

x³ - 3xy² = 8 , 3x²y - y³ = 0 denklem sistemini sağlayan tüm (x,y) reel ikililerini bulunuz.

Güneş kardeşim bu soruyu sana havale etmişiz ama çözememişsin galiba :D.

İkinci denklemi sanal birim olan $i$ ile çarpıp ilk denklemle taraf tarafa toplarsak $(x+iy)^3=8$ olur. $z=x+iy$ dersek $z^3=8(\cos0^\circ + i\sin 0^\circ)$ elde edilir. Buradan $z_1=2$, $z_2=2(\cos120^\circ + i\sin 120^\circ)= -1 + i\sqrt3 $, $z_3=2(\cos240^\circ + i\sin 240^\circ)= -1 - i\sqrt3 $ çözümleri elde edilir. Yani $(x,y)$ ikilileri $(2,0)$, $(-1,\sqrt3)$, $(-1,-\sqrt3)$ şeklinde üç tanedir.