Geomania.Org Forumları
Fantezi Cebir => Analiz-Cebir => Konuyu başlatan: Lokman Gökçe - Ekim 15, 2007, 11:39:04 ös
-
Birkaç çarpanlarına ayırma sorusu: Verilen ifadeleri sabit olmayan 2 polinomun çarpımı olarak ifade ediniz.
1) x7 + x5 + 1 = ?
2) x5 + x + 1 = ?
-
İkinciye çözüm...
-
birinciye çözüm
-
Yukarıda özel hallerine iki örnek verdiğimiz bu soruların genel hali:
a,b,c negatif olmayan tamsayılar ise x3a + x3b+1 + x3c+2 ifadesinin, x2 + x + 1 şeklinde bir çarpana sahip olduğunu gösteriniz.
-
Geçenlerde üstteki soru ile uğraşırken aklıma geldi.unutmadan yazalım:
a,b,c,d negatif olmayan tamsayılar ise x4a + x4b+1 + x4c+2 + x4d+3 ifadesinin (x+1)(x2 + 1) şeklinde bir çarpana sahip olduğunu gösteriniz. (L.GÖKÇE)
-
...
-
Elinize sağlık Feyzullah hocam... ben de şöyle düşündüm: P(x) = x3a + x3b+1 + x3c+2 polinomunun, x2 + x + 1 çarpanına sahip olması ancak ve ancak x2 + x + 1 = 0 için P = 0 olması ile mümkündür. x2 + x + 1 = 0 ise (x - 1)(x2 + x + 1)=0 olup x3 = 1 bulunur.
Buna göre (x3)a + (x3)b.x + (x3)c.x2 = 1 + x + x2 = 0 olur. Demek ki P(x) = x3a + x3b+1 + x3c+2 polinomu, x2 + x + 1 çarpanına sahiptir.
-
Çözüm için geç kaldım :)Madem öyle ben de alıştırma olsun diye Tübitak'ın kitabından bir soru göndereyim.
-
genel problemin a = 0, b = 0, c = 665 özel hali alınır.
-
2007 de yukarıda bir soru paylaşmışım ama çözümü kaybolmuş gibi görünüyor.
Soru: $a,b,c,d$ negatif olmayan tamsayılar ise $x^{4a} + x^{4b+1} + x^{4c+2} + x^{4d+3}$ ifadesinin $(x+1)(x^2 + 1)$ şeklinde bir çarpana sahip olduğunu gösteriniz.
Çözüm: $(x+1)(x^2 + 1) = 0$ diyelim. Eşitliğin her iki yanını, sıfırdan farklı $x-1$ terimi ile çarpalım. $(x-1)(x+1)(x^2 + 1) = 0$ olup $x^4 = 1$ elde edilir. Bu değeri, $x^{4a} + x^{4b+1} + x^{4c+2} + x^{4d+3}$ polinomunda yazarsak $1 + x + x^2 + x^3$ elde edilir. Ayrıca $1 + x + x^2 + x^3 = (x+1)(x^2+1) = 0$ olduğundan bu bölme işleminden kalanın $0$ olduğunu anlarız. Yani $x^{4a} + x^{4b+1} + x^{4c+2} + x^{4d+3}$ polinomu $(x+1)(x^2+1)$ çarpanına sahiptir.
Not: Benzer işlemleri yaptığımızda daha genel olarak, $n$ bir pozitif tam sayı ve $a_0,a_1,\dots, a_{n-1} \geq 0$ tam sayılar olmak üzere $$ P(x) = \sum_{k=0}^{n-1} x^{na_k + k}$$ olarak tanımlanan $P$ polinomunun $\dfrac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x + 1$ çarpanına sahip olduğunu gösterebiliriz.