21. AUMO SORULARI ÇÖZÜMLERİ

[FEYZULLAH UÇAR]

Hep beraber çözümleri buraya yazalım arkadaşlar.

[FEYZULLAH UÇAR]

4.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

7.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

13.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

15.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

19.soru

[FEYZULLAH UÇAR]

5.soru çözüm
 Beş basamaklı sayımız aabcd olsun. rakamların hiç biri 0 olamaz
aabcd 60 farkı şekilde sıralanır.
rakamları çarpımı 84 olduğundan
84=3.7.4.1=6.7.2.1  şekilde yazılabilidiği için
60*8 =480  şekilde yazılır.

[mehmetutku]

$17.$ soru

$d_{1}.d_{12}=d_{2}.d_{11}=d_{n}.d_{13-n}$  olduğunu biliyoruz. $d_{6}=12$ demek ilk beş böleninin $1,2,3,4,6$ olması demektir. O zaman $d_2=2$ dir.  Dolayısıyla $d_8=46$ olur. $d_5=6$ olduğunu da biliyoruz. Dolayısıyla $d_5.d_8=276=d_1.d_{12}=d$  dir. Buradan $d=276$ gelir ve rakamları toplamı $15$ tir.

[mehmetutku]

$1.$ soru

Kazanana $k$ lira kaybedene ise $m$ lira verildiğini farz edelim. Ve Hakan'ın kazandığı oyun sayısına $x$ diyelim. Dolayısıyla Mete $x$ oyun kaybetmiştir. Mete $3$ oyun kazandığı için de Hakan da $3$ oyun kaybetmiştir. Paraları hesaplarsak $x.k+3.m=280$ ve $3.k+x.m=175$ bulunur. Bu iki eşitliği hem taraf tarafa çıkarıp hem de toplayıp yazarsak $(x-3)(k-m)=105$ ve $(x+3)(k+m)=455$ denklemleri elde edilir. $105=3.5.7$ ve $455=13.7.5$ tir. $x-3$ ve $x+3$ çarpanları arasında $6$ fark var. Dolayısıyla $x-3=7$ ve $x+3=13$ olmalı. Buradan $k-m=15$ ve $k+m=35$ bulunur. Taraf tarafa toplarsak $k=25$ bulunur.

[mehmetutku]

$8.$ soru

Menaleustan $\dfrac{BC}{BD}.\dfrac{DN}{NA}.\dfrac{AE}{EC}=1$ ve $BC=CD$ bulunur. Açıortaydan $\dfrac{12}{AM}=\dfrac{BD}{DM}$ bulunur. Yani $BD=6$ olur $BC=3$ bulunur.

[mehmetutku]

$6.$ soru

Kitap türleri $a,b,c,d$ olsun.  Gökhan'ın aldığı kitap sayısını bulsak yeter. $a+b+c+d=12$ denkleminin $0 \leq a,b,c,d \leq 6$ olması şartıyla çözüm sayısını bulmalıyız. Bütün çözümlerden sağlamayanları çıkaralım. Bütün çözümler $\dbinom{12+4-1}{4-1}=\dbinom{15}{3}=455$ tir. $a=7+k$ yazalım.  Daha sonra aynı şey $b,c,d$ için de geçerli olacağından $4$ ile çarpabiliriz. $k+b+c+d=5$ in çözüm sayısı $\dbinom{5+4-1}{4-1}=\dbinom{8}{3}=56$ dır. $56.4=224$ tür. Cevap $455-224=231$ dir.

[mehmetutku]

$18.$ soru

Üçgenin en küçük kenarları $a$ ve $a+1$ olsun. En büyük kenarı $b$ olsun. $\dfrac{2a+1+b}{2}-1=b$ den  $b=2a-1$ çıkar. Alanı tamsayı demiş. $u=2a$ dır. Heron formülünden $A=\sqrt{2a.1.a.(a-1)}=a\sqrt{2a-2}$ dir. Dolayısıyla $2a-2$ nin çift bir tamkare olması lazım. Çevrenin $500$ den küçük olması için $a \lt 125$ olması gerek.  O zaman $2a-2 \lt 248$ olur. Alabileceği çift tamkare değerlerin sayısı $4,16,36,64,100,144,196$ olmak üzere $7$ tanedir. Bunlar incelenirse $2a-2=64,100,144,196$ için çevrenin $100$ den büyük olduğu görülür. Cevap $\tfrac{4}{7}$

[mehmetutku]

$2.$ soru

$TAB,TBA,ABT,ATB,BTA,BAT$ sıralamalarının sayısına sırayla $x,y,z,k,l,m$ diyelim. $x+y+z+k+l+m=25$ tir. $x+l+y=19$ ,  $z+l+m=12$  ve  $k+z+x=11$  bulunur. Her sıralama en az iki kere yazılmış dediği için $(x,y,z,k,l,m)=(a+2,b+2,c+2,d+2,e+2,f+2)$  dönüşümü yapabiliriz. $a+b+e=13$  , $c+e+f=6$ ve $a+c+d=5$ yazabiliriz. $a+b+c+d+e+f=13$ tür.  $a+b+e=13$ bulmuştuk. O zaman $c,d,f=0$ dır. $a=5$ , $e=6$ ve $b=2$ bulunur. Bizden istediği şey $l+m=e+2+f+2=10$ bulunur.

[mehmetutku]

$12.$ soru

$a+b=c$ ve $a,b,c$ asal sayı demek $a$ veya $b$ nin $2$ olması demektir.

$b=2$ olsun. $c-a=2$ ve $b-a-2=-a$ olur. İfade $-2a-37a+1$ e döner. $-39a+1$ in tamkare olması için $a\leq 0$ olması gerek. Bu da $a$ nın asallığıyla çelişir. Çözüm gelmez.

$a=2$ olsun. $c-a=b$ ve $b-a-2=b-4$ olur. İfade $b(b-4)-73$ e döner. $b^2-4b+4-77=x^2$ yazıp iki kare farkı yaparsak $(b-2+x)(b-2-x)=77$ olur. Buradan $b=11$ ve $b=41$ çözümleri gelir. $c=13$ ve $c=41$  olur.

Dolayısıyla toplam $2$ çözüm vardır.

[mehmetutku]

$25.$ soru

$ADC$ üçgeninin iç teğet çemberinin merkezi $I$ olsun. Çemberin $BD,DC,BC$  kenarlarına değdiği noktalar sırasıyla $K,L,M$ olsun. İç çemberin yarıçapına $2a$ diyelim. $IKDL$ karedir ve bir kenarı $2a$ dır. $BI$ nın $DC$ yi kestiği nokta $P$ olsun. $BI=2IP$ olduğu için $LP=a$  olur ve $BK=BM=4a$ olur. $BDC$ üçgeninde pisagor yaparsak $MC=LC=6a$  ve $PC=5a$ olur. Dolayısıyla $AD=2a$ olur. $BAD$ üçgeninde pisagor yaparsak $4=40a^2$ den $a=\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ olur. $AC=10a=\sqrt{10}$  bulunur.