Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 15

[ERhan ERdoğan]

Düzlemde $A(1,0) , B(5,2)$ noktaları veriliyor. $y=x+2$ doğrusu üzerinde alınan bir $C$ noktası için, $|AC|^2+|CB|^2$ ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir?

$
\textbf{a)}\ 26
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac{425}{16}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{53}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{105}{4}
\qquad\textbf{e)}\ 25
$

[Metin Can Aydemir]

Cevap $\boxed A$

$C$ noktasının koordinatları $(x,x+2)$ olsun. $$|AC|^2=(x-1)^2+(x+2)^2,~|BC|^2=(x-5)^2+x^2 \Rightarrow |AC|^2+|BC|^2=x^2+(x-1)^2+(x-5)^2+(x+2)^2$$ olur. $$\Rightarrow |AC|^2+|BC|^2=4x^2-8x+30=(2x-2)^2+26 \Rightarrow min\{ |AC|^2+|BC|^2\}=26$$