Tübitak Lise 1. Aşama 2017 Soru 03

[Metin Can Aydemir]

Tepe açısı $m(\widehat{BAC})=100^\circ $ olan $ABC$ ikizkenar üçgeninde $\widehat{ACB}$ açısının açıortayı $[AB]$ kenarını $D$'de kesiyor. $\mid AD \mid=x$, $\mid DC \mid = y$ ise $\mid BC \mid$'nin $x$ ve $y$ cinsinden değeri hangisidir?

$
\textbf{a)}\  x+2y\cos 40^\circ
\qquad\textbf{b)}\ y+2x\cos 20^\circ
\qquad \textbf{c)}\ y+2x
\qquad \textbf{d)}\ 3x-y
\qquad\textbf{e)}\ x+y
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$[BC]$ üstünde bir $E$ noktası, $m(\widehat{DEC})=80^\circ $ olacak biçimde alınırsa $|CE|=|CD|=y$ ve $ACED$ kirişler dörtgeni olup $|AD|=|DE|=|BE|=x$ tir. $|BC|=x+y$ olur.

[Deniz Tuna Yalçın]

$BC$ üstünde $m(\widehat{DTC})=100^\circ$ olacak şekilde bir $T$ noktası belirleyelim, $|DA|=|DT|=x$ ve $|AC|=|TC|=a$ olsun, $|DB|=a-x$ olur. $BC$'nin sağında $m(\widehat{DQC})=20^\circ$ olacak şekilde bir $Q$ noktası belirleyelim, $|DQ|=|DC|=y$ olur. $QTD$ üçgeninin ikizkenar olması sonucu $|QT|=y$ olup $|BT|=y-(a-x)=y-a+x$ olur, $|BT|+|TC|=y+x-a+a=x+y=|BC|$ olduğu görülür...

[Deniz Tuna Yalçın]

Tekrar $BC$ üstünde $m(\widehat{DTC})=100^\circ$ olacak şekilde bir $T$ noktası seçilir, $ADTC$ deltoid olacağından $|AD|=|DT|=x$'tir. $m(\widehat{DQC})=80^\circ$ olacak şekilde bir $BC$ üstünde bir $Q$ noktası seçilirse $QDC$ ikizkenar üçgen olacağından $|QC|=y$ ve $DQT$ de ikizkenar üçgen olacağından $|DQ|=x$ olur. Açılar yerine yerleştirildiğinde $BQD$'nin de ikizkenar üçgen olduğu görülür, buradan $|BQ|=x$ elde edilir, o halde $|BC|=x+y$ olacaktır.