Gönderen Konu: $n^n-1$ sayısının asal böleni  (Okunma sayısı 136 defa)

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.313
  • Karma: +9/-0
$n^n-1$ sayısının asal böleni
« : Ekim 28, 2024, 10:19:16 ös »
$167$'nin $n^n-1$'in böleni olmasını sağlayan en küçük $n\geq 2$ tamsayısı nedir?
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı ahmedsyldz

  • G.O Yeni Üye
  • *
  • İleti: 1
  • Karma: +0/-0
Ynt: $n^n-1$ sayısının asal böleni
« Yanıtla #1 : Ekim 30, 2024, 05:40:53 ös »
$n^n - 1 = (n-1)(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$
Eğer ki $(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$ çarpanı 167'nin katıysa $167 \equiv 2\mod3$ olduğundan bu ifadenin de 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Eğer ki $n = 3k$ ise $(3k - 1)(3k) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Eğer ki $n = 3k + 1$ ise $(3k)(3k + 1) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Ve son olarak $n = 3k + 2$ ise $(3k + 1)(3k + 2) + 1 \equiv 0 \mod3$ olacağından n'in hiç bir durumunda bu ifadenin mod 3'te 2 kalanını vermediği görülür. Bu nedenle $n-1$ çarpanı 167'nin katı olmalıdır. Bu durumda $n$ minimum 168 olabilir.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: $n^n-1$ sayısının asal böleni
« Yanıtla #2 : Ekim 30, 2024, 09:03:09 ös »
$n^n - 1 = (n-1)(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$
Eğer ki $(n^{n-1} + n^{n-2} + \cdots + n + 1)$ çarpanı 167'nin katıysa $167 \equiv 2\mod3$ olduğundan bu ifadenin de 3 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır. Eğer ki $n = 3k$ ise $(3k - 1)(3k) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Eğer ki $n = 3k + 1$ ise $(3k)(3k + 1) + 1 \equiv 1 \mod3$ olur. Ve son olarak $n = 3k + 2$ ise $(3k + 1)(3k + 2) + 1 \equiv 0 \mod3$ olacağından n'in hiç bir durumunda bu ifadenin mod 3'te 2 kalanını vermediği görülür. Bu nedenle $n-1$ çarpanı 167'nin katı olmalıdır. Bu durumda $n$ minimum 168 olabilir.

Fermat'ın küçük teoremine göre $n=166=3k+1$ için $166^{166}-1 \equiv 0 \pmod {167}$ olacaktır.
Dolayısıyla çıkarımınız yanlıştır.

Çevrimdışı geo

  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 2.632
  • Karma: +9/-0
Ynt: $n^n-1$ sayısının asal böleni
« Yanıtla #3 : Ekim 30, 2024, 10:04:00 ös »
Fermat'ın küçük teoreminden $n=166$ ın sağladığı kolayca görülebilir.

$n^{166} \equiv 1 \equiv n^n \pmod {167}$ olduğu için $n\mid 166$ olmalı. $n=2$, $n=83$, $n=166$ olabilir.
$n=2$ sağlamaz, $n=166$ ın sağladığını göstermiştik. Geriye sadece $n=83$ durumu kalıyor.
$83^{83}\equiv 1 \pmod {167}$ ise cevabımız $83$; değilse, yani $83^{83} \equiv -1 \pmod{167}$ ise cevabımız $166$ olacak.
$-1 \equiv 166^{83}\equiv 2^{83}\cdot 83^{83} \pmod {167}$ olduğu için $2^{83}$ ile $83^{83}$ $\bmod 167$ de zıt işaretli olmalı.
Bu durumda $2^{83}\equiv 1 \pmod{167}$ ise cevap $n=166$, değilse $n=83$ olacaktır.
Son ifadenin eşiti:
$2$ sayısı $\bmod {167}$ de ilkel kök değilse cevap $166$, ilkel kökse $83$.
$167=8k+7$ şeklinde bir asal sayı olduğu için
$x^2\equiv 2 \pmod{167}$ denkliğinin çözümü vardır.
(bkz. The second supplement to the law of quadratic reciprocity, bkz. proofwiki, bkz. math.stackexchange.com)
Her iki tarafın $83$ ün üssünü alırsak, Fermat'ın Küçük Teoreminden $x^{166}\equiv 2^{83}\equiv 1 \pmod {167}$ olacaktır. Yani $2$, $\bmod {167}$ de ilķel kök değildir. Dolayısıyla $83$ ilkel köktür, yani $n^n\equiv 1 \pmod {167}$
şartını sağlayan $1$ den büyük en küçük sayı $n=166$ dır.
« Son Düzenleme: Ekim 30, 2024, 10:10:43 ös Gönderen: geo »

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.313
  • Karma: +9/-0
Ynt: $n^n-1$ sayısının asal böleni
« Yanıtla #4 : Ekim 31, 2024, 04:47:43 öö »
$n^{166} \equiv 1 \equiv n^n \pmod {167}$ olduğu için $n\mid 166$ olmalı. $n=2$, $n=83$, $n=166$ olabilir.

Bu kısımdan emin değilim. Öncelikle $n=2\cdot 166=332$ de denkliği sağlar. Yani $n\mid 166$ olmak zorunda değil. Eğer $n<166$ için bu olmak zorunda diyorsanız da bence çok bariz bir sonuç değil. Nasıl düşündüğünüzü bilmemekle birlikte, $n$'nin mertebesi $166$'yı bölmeliden gelmiş bir sonuç gibi gözüküyor. Ancak bu durumda da $n$'nin mertebesi $d$ ve $n=dk$ gibi bir şey de olabilir. Örneğin $n^n\equiv 1\pmod{13}$ denkliğinde $n=8$ bir çözüm olmasına rağmen $8\nmid 12$'dir. Ayrıca $8$'nin mertebesi $4$'dür, yani $8$'in bölenidir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

Çevrimdışı Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.313
  • Karma: +9/-0
Ynt: $n^n-1$ sayısının asal böleni
« Yanıtla #5 : Ekim 31, 2024, 09:32:57 ös »
$167$ asal sayı olduğundan bir ilkel kökü vardır. Bu ilkel kök $g$ olsun. $n\equiv g^{n_0}$ olarak yazabiliriz. Bu durumda $$n^n\equiv g^{nn_0}\equiv 1\pmod{167}\iff nn_0\equiv 0\pmod{166}$$ olacaktır. $166=2\cdot 83$'dür.

Eğer $83\mid n_0$ ise $n\equiv g^{n_0}\equiv (g^{83})^k\equiv \pm 1\pmod{167}$ olacaktır. $n\equiv \pm 1\pmod{167}$'nin ikisi de çözümdür. En küçük $n$'yi aradığımızdan bu durumdan gelen en küçük değer $n=166$'dır.

Eğer $83\nmid n_0$ ise $83\mid n$ olmalıdır. $n<166$ için bir çözüm olup olmadığından $n=83$ durumunu incelememiz yeterlidir. $$83^{83}\equiv \left(\frac{167-1}{2}\right)^{83}\equiv -2^{83}\pmod{167}$$ olacaktır. Burada $2^{166}\equiv 1 \pmod{167}$ olduğundan $2^{83}\equiv (2^{83})^{-1}$ olduğunu kullandık. Euler'in karekalan kriterasyonundan, $$-2^{\frac{167-1}{2}}\equiv -\left(\frac{2}{167}\right)\pmod{167}$$ olacaktır. $167\equiv -1\pmod{8}$ olduğundan $2$ karekalandır, buradan da $$83^{83}\equiv  -\left(\frac{2}{167}\right)\equiv -1\pmod{167}$$ bulunur. Yani $n=83$ istenileni sağlamaz. Dolayısıyla $\min n=166$'dır.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal