Fermat'ın küçük teoreminden $n=166$ ın sağladığı kolayca görülebilir.
$n^{166} \equiv 1 \equiv n^n \pmod {167}$ olduğu için $n\mid 166$ olmalı. $n=2$, $n=83$, $n=166$ olabilir.
$n=2$ sağlamaz, $n=166$ ın sağladığını göstermiştik. Geriye sadece $n=83$ durumu kalıyor.
$83^{83}\equiv 1 \pmod {167}$ ise cevabımız $83$; değilse, yani $83^{83} \equiv -1 \pmod{167}$ ise cevabımız $166$ olacak.
$-1 \equiv 166^{83}\equiv 2^{83}\cdot 83^{83} \pmod {167}$ olduğu için $2^{83}$ ile $83^{83}$ $\bmod 167$ de zıt işaretli olmalı.
Bu durumda $2^{83}\equiv 1 \pmod{167}$ ise cevap $n=166$, değilse $n=83$ olacaktır.
Son ifadenin eşiti:
$2$ sayısı $\bmod {167}$ de ilkel kök değilse cevap $166$, ilkel kökse $83$.
$167=8k+7$ şeklinde bir asal sayı olduğu için
$x^2\equiv 2 \pmod{167}$ denkliğinin çözümü vardır.
(bkz.
The second supplement to the law of quadratic reciprocity, bkz.
proofwiki, bkz.
math.stackexchange.com)
Her iki tarafın $83$ ün üssünü alırsak, Fermat'ın Küçük Teoreminden $x^{166}\equiv 2^{83}\equiv 1 \pmod {167}$ olacaktır. Yani $2$, $\bmod {167}$ de ilķel kök değildir. Dolayısıyla $83$ ilkel köktür, yani $n^n\equiv 1 \pmod {167}$
şartını sağlayan $1$ den büyük en küçük sayı $n=166$ dır.