Gönderen Konu: Eşkenar Dörtgen  (Okunma sayısı 3313 defa)

Çevrimdışı hope

  • G.O Azimli Üye
  • ***
  • İleti: 27
  • Karma: +0/-0
Eşkenar Dörtgen
« : Ekim 31, 2023, 01:38:22 ös »
tesekkür ederim

Çevrimdışı Lokman Gökçe

  • Lokman Gökçe
  • Administrator
  • Geo-Maniac
  • *********
  • İleti: 3.717
  • Karma: +23/-0
  • İstanbul
Ynt: Eşkenar Dörtgen - 2023 Antalya 2. Aşama (Final) 10. Sınıf Pr 14
« Yanıtla #1 : Ocak 04, 2024, 01:09:29 öö »
2023 Antalya Matematik Olimpiyatı'nın sorusudur. (2. Aşama (Final) 10. Sınıf Pr 14) Sorularda kaynak biliniyorsa, belirtilmelidir.

Yanıt: $\boxed{A}$

Çözüm: $ABC$ eşkenar üçgendir ve $ABCE$ bir kirişler dörtgenidir. $|AB| = a$, $|AE| = x$, $|EC| = y$ diyelim. $y>x$ varsayabiliriz. Çünkü $|y-x|$ ifadesinin değerini arıyoruz. Ptolemy teoreminden $x+y = 5$ elde edilir. $x^ 2 + y^2 + 2xy = 25$ yazılabilir.

Henüz $4$ uzunluğunu kullanmadık. Bunun için $AED$ üçgenini $D$ noktası etrafında pozitif yönde $60^\circ$ döndürerek $CFD$ üçgenini oluşturalım. $|CF| = |AE| = x$, $|FD| = |ED| = 4$ ve $\angle EDF = 60^\circ$ dir. Dolayısıyla $EFD$ bir eşkenar üçgen olup $|EF| = 4$ tür. Açı takibi yapılırsa $\angle ECF = 60^\circ$ bulunur. Böylece $ECF$ üçgeninde kosinüs teoreminden

$x^2 + y^2 - xy = 16$ olur.

$x^ 2 + y^2 + 2xy = 25$ eşitliğini göz önüne alırsak $xy = 3$, $x^2 + y^2 = 19$ bulunur.

$|y-x|^2 = x^ 2 + y^2 - 2xy = 19 - 2\cdot 3 = 13$ olup $|y-x| = \sqrt{13}$ elde edilir.
Uğraşınca çözebileceğim zorlukta olan soruları çözmeyi severim.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal