2002 Ulusal Lise Matematik Olimpiyatı Kış Kampı Sınavı Soru 1

[Lokman Gökçe]

$C$ açısı dik olan bir $ABC$ üçgeninin $D, F \in [AB]$ olmak üzere, $[CD]$ yüksekliği ve $[CF]$ açıortayı çiziliyor. $K \in [BC]$ ve $L \in [AC]$ olmak üzere $[DK]$ ve $[DL]$ sırası ile $BDC$ ve $ADC$ üçgenlerinin açıortayları ise $CLFK$ dörtgeninin bir kare olduğunu gösteriniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm [Lokman Gökçe]: Dik açıların açıortaylarından dolayı $\angle ACF = \angle BCF = \angle ADL = \angle CDL = \angle CDK = \angle BDK = 45^\circ $ dir. $\angle LCK = \angle LDK = 90^\circ $ olduğundan $CKDL$ bir kirişler dörtgenidir. Ayrıca $\angle FCK = \angle FDK = 45^\circ $ olduğundan $CKDF$ bir kirişler dörtgenidir. Böylece $CKFDL$ bir kirişler beşgeni olur. Bu durumda $\angle CKF = \angle CDF = 90^\circ $ dir. Şu aşamada $CLFK$ bir dikdörtgendir. Eşit ölçülü ($\angle LDC = 45^\circ$ gibi) çevre açıların gördüğü kirişler eşit uzunlukta olduğundan $|LC| = |CK| = |KF|$ dir. Buna göre, $CLFK$ dikdörtgeni bir kare olur.