$H \in [CD]$ ya da $H \in [BD]$ olmasına göre iki farklı cevap çıkıyor. Sorunun üniversite sınavlarına hazırlık seviyesinde olabilmesi için şekil ile bu durum açıkça belirtilmeli. Uyarısısı için alpercay hocama teşekkürler.
$H \in [CD]$ olsun.
$\triangle AHB$ ve $\triangle DFB$ üçgenlerine odaklanalım.
Elimizde $DF=9$, $AF=8$, $DH=1$ bilgisi var. $\triangle AHB$ nin kenarlarını bulacağız.
Pisagordan $AH^2 + HD^2 = AF^2 + FD^2 \Rightarrow AH = 12$ elde edilir.
$\triangle AHB \sim \triangle DFB \quad (AA)$.
$\dfrac{FB}{HB} = \dfrac {DB}{AB} = \dfrac {FD}{HA} = \dfrac 9{12} = \dfrac 34$.
$FB= 3k$ dersek $HB=4k$, $DB=4k-1$, $AB=3k+8$.
$\dfrac {DB}{AB} = \dfrac{4k-1}{3k+8} = \dfrac 34 \Rightarrow 16k-4 = 9k + 24 \Rightarrow k = 4$
$HB = 16$ ve $AB=20$
Öklit'ten $\text{Alan}(ABC) = \dfrac {AH \cdot BC}{2} = \dfrac{AH \cdot \dfrac {AB^2}{HB}}{2} = \dfrac {12 \cdot \dfrac {20^2}{16}}{2} = \boxed{150}$
$H \in [BD]$ olsun.
$\triangle AHC$ ve $\triangle DEC$ üçgenlerine odaklanalım.
Elimizde $AE=9$, $ED=8$, $DH=1$ bilgisi var. $\triangle AHC$ nin kenarlarını bulacağız.
Pisagordan $AH^2 + HD^2 = AE^2 + ED^2 \Rightarrow AH = 12$ elde edilir.
$\triangle AHC \sim \triangle DEC \quad (AA)$.
$\dfrac{EC}{HC} = \dfrac {DC}{AC} = \dfrac {ED}{HA} = \dfrac 8{12} = \dfrac 23$.
$EC = 2k$ dersek $HC=3k$, $DC=3k-1$, $AC=2k+9$.
$\dfrac {DC}{AC} = \dfrac{3k-1}{2k+9} = \dfrac 23 \Rightarrow 9k-3 = 4k + 18 \Rightarrow k = \dfrac{21}{5}$
$HC = \dfrac{63}{5}$ ve $AC=\dfrac{87}{5}$
Öklit'ten $\text{Alan}(ABC) = \dfrac {AH \cdot BC}{2} = \dfrac{AH \cdot \dfrac {AC^2}{HC}}{2} = \dfrac {12 \cdot \dfrac { (29\cdot 3)^2}{5^2} } {2 \cdot \dfrac {7 \cdot 9}{5}} = \dfrac {6 \cdot 29^2 }{7 \cdot 5} = \boxed{ \dfrac {5046}{35} } $
