Katsayıları dengelemek için $(x,y,z)=(6a,3b,2c)$ yazalım. Denklem $$2\sqrt{a^2+b^2+c^2+1}=1+b+2\sqrt{ac}$$ haline gelir. Bu noktada birçok eşitsizlik uygulanabilir, ben eşitliği daha da ilerletmeye çalışacağım. $$4(a^2+b^2+c^2+1)=1+b^2+4ac+2b+4\sqrt{ac}+4b\sqrt{ac}$$ $$\implies 4a^2+4c^2+3b^2+3=4ac+2b+4\sqrt{ac}+4b\sqrt{ac}$$ Aritmetik-Geometrik ortalama eşitsizliğinden, $$\frac{a^2+c^2+b^2+b^2}{4}\geq \sqrt[4]{a^2b^4c^2}\implies a^2+c^2+2b^2\geq 4b\sqrt{ac}$$ $$2a^2+2c^2\geq 4ac$$ $$b^2+1\geq 2b$$ $$\frac{a^2+c^2+1+1}{4}\geq \sqrt[4]{a^2c^2}\implies a^2+c^2+2\geq 4\sqrt{ac}$$ eşitsizlikleri elde edilir. İki değişkenli olanlar $(x-y)^2\geq 0$ eşitsizliğinden geldiğinden dolayı her $a,b,c$ için sağlanır. $4$ değişkenli olanlar ise $ac\geq 0$ (aksi taktirde asıl eşitlikteki kökler tanımsız olurdu) ve $|b|\geq b$ olduğundan dolayı doğrudur. Dolayısıyla bu eşitsizlikler direkt olarak AGO eşitsizliği olarak değil, ufak düzenlenmiş halleri olarak görülmelidir.
Bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak, $$4a^2+4c^2+3b^2+3\geq 4ac+2b+4\sqrt{ac}+4b\sqrt{ac}$$ olur. Eşitlik durumunda $|a|=|c|=|b|=1$, $ac\geq 0$, $|b|=b$ durumunda sağlanır. Yani $(a,b,c)=(1,1,1)$ veya $(-1,1,-1)$ olmalıdır. $x,y,z$'ye geri dönersek, sadece $(x,y,z)=(6,3,2),(-6,3,-2)$ çözümleri elde edilir.