2001 Ulusal İlköğretim Matematik Olimpiyatı Yaz Kampı Sınavı Soru 1

[matematikolimpiyati]

$n$ bir doğal sayı olmak üzere $(4n+1)(12n+1)$ bir tamkare ise $7$'nin $n(3n+1)$'i böldüğünü gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle çarpanların $\text{ebob}$'larını inceleyelim. $\text{ebob}(4n+1,12n+1)=\text{ebob}(4n+1,12n+1-3(4n+1))=\text{ebob}(4n+1,2)=1,2$ olabilir ancak $4n+1$ tek sayı olduğundan $2$ olamaz. Bu yüzden $4n+1$ ve $12n+1$ aralarında asaldır. Yani $4n+1$ ve $12n+1$ ayrı ayrı tamkare olmalıdır. Bir tamkare $7$ modunda sadece $0,1,2,4$ kalanı verebilir. Dolayısıyla, $$4n+1\equiv 0,1,2,4\pmod{7}\implies 4n\equiv 0,1,3,6\pmod{7}\implies 8n\equiv n\equiv 0,2,5,6\pmod{7}$$ $$12n+1\equiv 0,1,2,4\pmod{7}\implies 12n\equiv 5n\equiv 0,1,3,6\pmod{7}\implies 15n\equiv n\equiv 0,2,3,4\pmod{7}$$ olacaktır. İkisi birden sağlanması gerektiğinden $n\equiv 0,2\pmod{7}$ elde edilir. Yani $$n\equiv 2\pmod{7}\iff 3n+1\equiv 0\pmod{7}$$ olduğundan $$n\equiv 0,2\pmod{7}\iff n(3n+1)\equiv 0\pmod{7}$$ olacaktır. Dolayısıyla $7\mid n(3n+1)$'dir.