$5^n$ sayısını $A\cdot 10^{k}+5^k$ formatında olmasını sağlayalım. Böyle bir durumda $5^k$ sayısı $a$ basamaklıysa, $5^n$ sayısının içinde yan yana en az $k-a$ tane $0$ olacağını görebiliriz. $$5^n-5^k=5^{k}\left(5^{n-k}-1\right)=A\cdot 10^k\implies 5^{n-k}-1=A\cdot 2^k$$ Kuvvet kaydırma teoreminden faydalı bir sonuç alabilmek için $n-k$'yı çift kabul etmeliyiz. Bu durumda $v(n)$ fonksiyonu $n$'yi bölen en büyük $2$'nin kuvvetinin üssünü göstermek üzere, $$v(5^{n-k}-1)=v(5-1)+v(5+1)+v(n-k)-1=v(n-k)+2\geq k$$ seçmeliyiz. $n=2^k+k$ seçersek, $n-k$ çift olur ve $v(5^{n-k}-1)>k$ olacağından $5^{n}$ içerisinde en az $k-a$ tane $0$ olur. Dolayısıyla $k-a$'nın $2000$'den büyük olmasını sağlayan bir $k$ bulalım. $5^k$ sayısı $a$ basamaklı olduğundan ve $5^k\neq 10^{a-1}$ olduğundan $$10^{a-1}< 5^k<10^a\implies a-1< k\log_{10}5<a \implies k\log_{10}5<a<k\log_{10}5+1$$ $$\implies k-k\log_{10}5-1<k-a<k-k\log_{10}5$$ olacaktır. Eğer $$k-k\log_{10}5>2001\iff k>\frac{2001}{1-\log_{10}5}=\frac{2001}{\log_{10}2}$$ seçersek $k-a>2000$ olacaktır. $$\frac{2001}{\log_{10}2}=\frac{8004}{\log_{10}16}<8004$$ olduğundan $k=8004$ seçebiliriz. Dolayısıyla $n=2^{8004}+8004$ için $5^n$ ondalık yazımı içerisinde en az $2000$ tane $0$ vardır.
Daha genel olarak $n=2^{4m+4}+4m+4$ seçersek $5^n$'in ondalık yazımı içerisinde en az $m$ tane $0$ olacaktır.
Not: Soru ilköğretim/ortaokul için sorulduğu sonradan fark ettim. Bu yüzden logaritma kavramını kullanmak doğru olmayabilir. Ayrıca kuvvet kaydırma teoreminin de ortaokullar için uygun seviyede olup olmadığını bilmiyorum. Bu yüzden bu çözüm düzenlenip, daha temel yöntemlerle ispat tamamlanabilir.
