2008 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 12

[matematikolimpiyati]

Yazı tahtasında yazılmış bir sayı için$,$ her hamlede bu sayı silinip onun yerine karesi ya da iki katı yazılıyor. Başlangıçta$,$ tahtaya $1$ yazılmışsa $2^{111}$ sayısını elde etmek için en az kaç hamle yapmak gerekir?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 18$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{C}$

Tersten gidelim ve her hamlede sayının yarısını veya karekökünü alarak $2^{111}$'den $1$'i elde etmeye çalışalım. En hızlı şekilde ulaşmak için olabildiğince çok kez karekök alma işlemi uygulamalıyız. $$2^{111}\to 2^{110}\to 2^{55}\to 2^{54}\to 2^{27}\to 2^{26}\to 2^{13}$$ $$\to 2^{12}\to 2^6\to 2^3\to 2^2\to 2\to 1$$ Bunu tersten sıralarsak $12$ hamlede $1$'den $2^{111}$'e ulaşabiliriz.