Yanıt $\boxed{21}$ dir. Sorunun seçeneklerinin hatalı yazıldığını düşünüyorum.
Toplam $n$ defa tuşa basılmış olsun. Sarı ile başlanıp kırmızı ile biten sıralamaların sayısı $a_n$ olsun. $a_1=a_2=a_3=0$ ve $a_4=1$ olduğu açıktır. Ayrıca $n$ tek sayı iken $a_n=0$ dır. Örneğin $a_5=0$ dır.
$a_6$ yı hesaplayalım: Sarı tuşa basmayı $x$ ile gösterelim. Sonra sağdaki tuşa geçişi $+$ ile, soldaki tuşa geçişi $-$ ile gösterelim. Tüm mümkün durumlar: $x++++-$, $x+++-+$, $x++-++$, $x+-+++$, $x-++++$ olup $5$ tanedir. Yani $a_6=5$ tir. Burada $4$ tane $+$ ve $1$ tane $-$ sembolü kendi arasında yer değiştirdiği için basitçe tekrarlı permütasyon (veya kombinasyon) kullanabiliriz. $a_6 = \dbinom{5}{4}= \dfrac{5!}{4!\cdot 1!} = 5$ yöntemiyle de hesaplanabilir.
$a_8$ i hesaplayalım: Yine sarı tuşa basmayı $x$ ile gösterelim. Sonra sağdaki tuşa geçişi $+$ ile, soldaki tuşa geçişi $-$ ile gösterelim. Daima $+$ işaretlerinin sayısı $-$ işaretlerinin sayısından $3$ fazla olmalıdır. Örnek bir durum $x+++++--$ şeklindedir. Tüm durumların sayısı $a_8 =\dbinom{7}{5}= \dfrac{7!}{5!\cdot 2!} = 21$ olur.
Not: Çözümü genelleştirirsek, $n\geq 4$ çift sayı olmak üzere, $a_n = \dbinom{n-1}{m}$ ile hesaplanabilir. Burada $m = \dfrac{n}{2}+1$ dir.
