Görüntü kümesinde $a$ dışında $2$ eleman daha olmalıdır. Bu iki eleman $\{b,c,d,e,f\}$ kümesinden $\binom{5}{2}= 10$ şekilde seçilebilir.
$f(1)=a$ olduğu belirli olduğundan $\{2,3,4,5\}$ kümesinin elemanlarının görüntülerini belirleyeceğiz.
Bu elemanların her birinin görüntüsü için $a$ ve diğer iki eleman olmak üzere $3$ seçenek vardır. Bütün durumların sayısı $3^4=81$ dir.
Ancak dikkat edilmelidir ki, bu durumların arasında görüntüsü kümesinin $1$ veya $2$ elemanlı olduğu durumlar da mevcuttur. Dolayısıyla $4$ elemanının her birinin görüntüsünün $a$ ve diğer iki elemandan yalnız biri olduğu durumları çıkarmalıyız. Bu durumların sayısı diğer iki elemandan her biri için $2^4=16$, toplam $32$ dir.
Bu aşamada dikkat etmemiz gereken son bir şey daha vardır: Bir önceki adımda hesaplamış olduğumuz $32$ durumda görüntü kümesinin yalnızca $a$ elemanından oluştuğu durum $2$ kere sayılmaktadır. Dolayısıyla $1$ eklemeliyiz.
Yanıt: $10\cdot(81 - 32 + 1) = \boxed{500}$
