Tüm pozitif kuvvetlerinin son üç basamağı aynı olan sayı {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

$K$ sayısı $xyz$ biçiminde üç basamaklı bir sayıdır. $K$ sayısının karesi ve küpü ve ... ve $n.$ kuvveti alındığında elde edilen sayının son üç basamağı yine $K=xyz$ sayısıdır. Yani

$$(xyz)^2=\dots xyz $$ $$(xyz)^3=\dots xyz $$ $$ \vdots $$ $$(xyz)^n=\dots xyz $$
şeklindedir. Bu durumu gerçekleyen en büyük üç basamaklı $K$ sayısı $K_1$, en küçük üç basamaklı $K$ sayısı $K_2$ dir.

Buna göre $K_1 - K_2$ kaçtır?

$ \textbf{a)}\ 232 \qquad\textbf{b)}\ 242  \qquad\textbf{c)}\ 249 \qquad\textbf{d)}\ 256 \qquad\textbf{e)}\ 264 $


Notlar:
1. Sorunun kaynağı Merkez Yay. TYT Soru Bankası.
2. Sorunun orijinalinde VE bağlaçları yerine VEYA bağlaçları kullanılmıştır. Biz VE bağlacı kullanarak soruyu düzelttik. Böylece seçeneklerdeki sayılardan birine ulaşmak mümkündür. VEYA bağlacı kullanılırsa en az bir $n$ için istenen eşitliğin sağlanması yeterli olur. Euler $\phi$ fonksiyonunu kullanalım. $\phi (1000)=400$ olduğundan $K_1=999$, $K_2=101$ için $999^{401} \equiv 999 \pmod{1000}$, $101^{401} \equiv 101 \pmod{1000} $ olup $K_1 - K_2 = 999-101=898$ elde edilirdi.

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{C}$

Çözüm: Verilen eşitliklerden $K^2 \equiv K \pmod{1000}$ yazılır. Bu durumda $K^3 \equiv K^2 \cdot K \equiv K \cdot K \equiv K \pmod{1000}$ olur. Benzer şekilde, $K^2 \equiv K \pmod{1000}$ sağlanıyorken her $n$ pozitif tamsayısı için $K^n \equiv K \pmod{1000}$ sağlanır. Dolayısıyla sadece $K^2 \equiv K \pmod{1000}$ denkliği ile ilgilenmek gerekli ve yeterlidir.

$K^2 \equiv K \pmod{1000}$ denkliğini $K(K-1) \equiv 0 \pmod{1000}$ biçiminde yazalım. $K=1$, $K=1000$ çözümleri üç basamaklı değildir. Ardışık haldeki $K$ ile $K-1$ aralarında asal sayılardır. O halde

$$ \begin{array}{lcr}  K & \equiv & 0 & \pmod{8} \\ K & \equiv & 1& \pmod{125} \end{array} $$ veya $$ \begin{array}{lcr}  K & \equiv & 1& \pmod{8} \\ K & \equiv & 0 & \pmod{125} \end{array} $$
olmalıdır. Bu denklik sistemlerinin çözümünden $K_2=1+3\cdot125 =376$ ve $K_1= 5\cdot 125 = 625$ elde edilir. (Çin kalan teoremine göre $\mod 1000$ içinde başka çözüm yoktur.) Buradan $K_1-K_2=625-376=249$ sonucuna ulaşılır.

[Lokman Gökçe]

Not: Aynı problem $2012$ Tübitak Ortaokul Matematik Olimpiyatı $1.$ aşama sınavında sorulmuş. Forumda daha önce yapılmış diğer çözümlere ulaşılabilir.