Çarpanlara ayırma 1

[LaçinCanAtış]

$x^2+x+1=0$ olduğuna göre ;
$$\left(x+\frac{1}{x}\right)+\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+...+\left(x^{10}+\frac{1}{x^{10}}\right)$$
toplamı kaçtır?

[ArtOfMathSolving]

Tek tek paydaları eşitlersek, $\dfrac{1+x+x^2+\dots+x^{20}-x^{10}}{x^{10}}=\dfrac{x^{21}-1}{x^{10}}-1$ bulunur.  Ana denklemde her iki tarafa $x$ eklersek, $(x+1)^2=x\Rightarrow x+1=\sqrt{x}\Rightarrow x(\sqrt{x}+1)=x-1=x\sqrt{x}=-1$ sonuç olarak $x^3=1$ bulunur. Hesaplamamız gereken $x^{11}-1/x^{10}-1$ ve $x^{11}-1/x^{10}=\dfrac{x^3-1}{x}$ olduğundan ifadenin değeri $-1$ dir.