Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği

[Lokman Gökçe]

Teorem: $f$ ve $g$, $[a,b]$ kapalı aralığı üzerinde sürekli iki fonksiyon olsun. Bu durumda
 
$$ \left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $$

eşitsizliği vardır. Bu eşitsizlik Cauchy-Schwarz İntegral Eşitsizliği olarak bilinir.


İspat: Her $x$ gerçel sayısı için $ 0 \leq (xf(t)+g(t))^2 $ dir. Her iki tarafın $[a,b]$ aralığı üzerinden integralini alıp

$0 \leq \int\limits_{a}^{b}(xf(t)+g(t))^2 dt = x^2\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt + 2x\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt + \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt  =Ax^2+Bx+C$ diyelim. Burada
$$A=\int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt , \quad B=2\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt, \quad C=\int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $$
dir. Her $x$ gerçel sayısı için $0 \leq Ax^2+Bx+C \Longleftrightarrow \Delta = B^2 - 4AC \leq 0$ dır. Burada $A,B,C$ yerine tekrar integral eşitliklerini yazarsak
$$ \left(\int\limits_{a}^{b}f(t)g(t)dt \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}f^2(t)dt \int\limits_{a}^{b}g^2(t)dt $$
sonucuna ulaşılır.

Ayrıca C-S İntegral eşitsizliği $\mathbb R^n$ nin bir alt bölgesinde tanımlı ve sürekli fonksiyonlar için yazılırsa, çok katlı integrallerde de geçerli olduğu görülebilir. Bunun ispatı da, yukarıda verdiğimiz gibi yapılır.

[Lokman Gökçe]

C-S integral eşitsizliğini kullanarak birçok eşitsizlik üretebiliriz:

Uygulama 1: $f(x)=\dfrac{1}{x}$, $g(x)=x$ fonksiyonlarını alalım. $0<a \leq b$ için bu fonksiyonlar $[a,b]$ üzerinde süreklidir. C-S integral eşitsizliğini uygularsak $ \left(\int\limits_{a}^{b}dx \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}\dfrac{1}{x^2}dx \int\limits_{a}^{b}x^2dx$ olup buradan

$(b-a)^2 \leq \left(  \dfrac1a - \dfrac1b \right) \cdot \left(  \dfrac{b^3-a^3}{3} \right) $ eşitsizliği elde edilir. Alıştırma olarak, bu eşitsizliği temel eşitsizlik yöntemleriyle ispatlamayı deneyebilirsiniz.

Uygulama 2:$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt {x}}$, $g(x)=\sqrt {x}$ fonksiyonlarını alalım. $0<a \leq b$ için bu fonksiyonlar $[a,b]$ üzerinde süreklidir. C-S integral eşitsizliğini uygularsak $ \left(\int\limits_{a}^{b}dx \right)^2 \leq \int\limits_{a}^{b}\dfrac{1}{x}dx \int\limits_{a}^{b}xdx$ olup buradan

$(b-a)^2 \leq  \left(\ln{\dfrac {b}{a}}\right) \cdot \left(  \dfrac{b^2-a^2}{2} \right) $ eşitsizliği elde edilir. Bu uygulamadaki eşitsizliğimiz logaritma içerdiği için temel yöntemlerle ispatlamayı denersek, önceki uygulamaya göre daha zor bir problem olarak karşımıza çıkacaktır.

Siz de $f$ ve $g$ fonksiyonlarını değiştirerek çok farklı eşitsizliklere ulaşabilirsiniz.