ALAN

[mateo34]

$ABCD$ bir dörtgen olmak üzere; $[AB] \perp [BC]$ ve $[BD] \perp [CD]$ dir.  $|AB|=15, |BC|=20$   ve    $A(ABD)=A(BDC)$           
olduğuna göre, $A(ADC)=?$

[Lokman Gökçe]

$m(\widehat{DBC})=a$ dersek $m(\widehat{DBA})=90-a$ olur. $|BD|=x$ olsun. Alan eşitliğinden $15\cdot x \cdot \cos a = 20 \cdot x \cdot \sin a$ olup buradan $\tan a = \dfrac {3}{4}$ bulunur. Bu değer yardımıyla $x=16$ olur. Bu kısımdan sonra istenen alan kolaylıkla $42$ olarak hesaplanabilir.

[Lokman Gökçe]

Hocam sanırım tam 42 gelmiyor 41.34... gibi birşey geliyor

Kontrol edelim. İlk çözümümde "kolaylıkla hesaplanabilir" dediğim kısmın açıklaması şöyledir:

$x=16$ olduğundan $BCD$, $12-16-20$ üçgenidir. $Alan(ABCD) = 2Alan(BCD) = 16\cdot 12 = 192$ dir. $Alan(ABC)=\dfrac{15\cdot 20}{2} = 150$ dir. $Alan(ADC) = 192 - 150 = 142$ olur.

Çözüm 2: İlk çözümde $\tan a = \dfrac{3}{4}$ bulunmuştu. Ayrıca $ABC$ dik üçgeninde $\tan(ACB) = \dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}$ olduğundan $\angle ACB = \angle DBC = a$ olur. $AC$ ile $BD$ nin kesişimine $E$ dersek, ülkemizde "muhteşem üçlü" ismiyle bilinen ve literatürdeki adı "Thales teoremi" olan teoremden dolayı $|EA|=|EB|=|EC|=\dfrac{25}{2}$ dir. $|ED|=16 - \dfrac{25}{2} = \dfrac{7}{2}$ olur. $Alan(ADC) = 2Alan(EDC) = \dfrac{7}{2}\cdot 12 = 42$ elde edilir.

[geo]

Lokman Hoca'mın 2. Çözümünün çok az farklı ifade edilmiş versiyonu:

$[ABD]=[BDC] \Longleftrightarrow AE = EC$.
$ABC$ dik üçgeninde $AE=EC=BE$.
$\triangle ABC \sim \triangle CDB$.
$ED=\frac 72$.
$[ADC]=2[EDC]=42$.