trigonometrik fonksiyonların seri açılımları

[efder]

trigonometrik fonksiyonların seri açılımının tam olarak kullanım alanı nedir? örnek problemlerle açıklayabilir misiniz? ilginiz için şimdiden teşekkürler

[alpercay]

Matematiğin her konusunun bir uygulama alanı olması gerekmez;öyle olduğunda bu tür matematiğe uygulamalı matematik deniyor.Matematikçi ilerlerken kendi kendine sorular sorarak ilerler.Soru sormak soru çözmekten daha önemlidir derler.Bazen de ilgilendiği konuya o anki matematik cevap vermez;bu durumda matematik yaratır.En basiti sayı kümelerini düşünün.Çözemediğimiz problemlerle karşılaşınca bu kümeleri genişletmişiz.Pür matematiği günün birinde birileri gerçek hayat problemlerinin çözümünde kullanırsa artık o konu uygulamalı matematik safına geçer.
   Seri açılımlarının pratikte nerde kullanıldığını pek bilmiyorum ama aklıma gelen bu açılımları hesap makinalarının kullanıyor olabileceği.Araştırmalarınızı paylaşırsanız seviniriz.

[Lokman Gökçe]

Alper bey genel bir çerçeve çizmiş, teşekkürler. Birkaç cümle de ben ekleyeyim.

trigonometrik fonksiyon olsun ya da olmasın, seri açılımlar nümerik analizde sıkça kullanılıyor. Bu alan, yaklaşık değer hesaplamaları ile uğraştığı için bir fonksiyonun belli bir terime kadar seri açılımı yapılarak bir noktadaki yaklaşık değeri, türevi, bir aralıktaki integrali hesaplanabiliyor. Bir denklem çözülürken kök bulma işlemi cebirsel yollarla çok zor ya da imkansız olabiliyor. Bir seri açılımdan faydalanarak bu kökü istenilen hassasiyetle yaklaşık olarak elde edebiliyoruz. Her fonksiyonun integralini alamıyoruz. Dolayısıyla belirli integral-alan hesabı gibi işlemler imkansız bir hal alabiliyor. Bunun yerine fonksiyonun seri açılımı kullanılarak hesaplanmak istenen alan istenen hassasiyetle yaklaşık olarak bulunabiliyor.

sadece nümerik analizde değil, analiz alanında - kompleks fonksiyonlar teorisinde de seri açılımlar kullanılıyor. Örnek istediğiniz için bir tane yazayım:

e^ix = cosx + i.sinx

olarak bilinen Euler özdeşliğinin ispatında üstel fonksiyonun, sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının seri açılımlarından faydalanıyoruz.

Aslında seri açılımların matematikte çok geniş bir kullanım alanı var. ''tam olarak şu ve şu alanlarda seri açılım kullanılır'' diyemeyiz.

[Ferhat GÖLBOL]

Örnek bir limit sorusu, seri açılımıyla rahatça çözülüyor. L'hospital ile işler bayağı karışıyor.

O(x⁴) ve O(x⁵), en küçük dereceli terimlerinin derecesi 4 ve 5 olan "polinom"lar. İfadenin payını ve paydasını x³'e bölüp sin(x)/x -> 1 eşitliğini kullanırsak limit 2/3 bulunur.

[senior]

Cevaplara katılmakla beraber, bir örnek sunarak olayı netleştireyim.
sin(x) = x - x³/6 ... diye giden bir seri.
Mesela sin(0.1)'i hesaplamamız gerekti.
Gerçek değeri 0.099833416646828
Yaklaşık değeri ise ilk 1-2 terime bakarak hesaplanabilir: 0.1 - 0.1^3 / 6 = 0.099833333333333
Virgülden sonraki 5 basamak aynı.

Hatta, sin(pi/6) yani sin(30) (derece olarak 30) = 1/2'dir.
Sadece ilk terimi bile aldığımızda pi/6 = 0.5236 gibi bir sayı verir.

Burada x büyüdükçe daha fazla terimi almak gerekebilir. Küçük sayılarda çok iyi tutmasının sebebi küçük sayıların kuvvetlerinin de küçük olmasıdır.