Altın oran ve pi sayısı

[alpercay]

Altın oran $\phi=\dfrac{1+\sqrt 5}{2}$  olmak üzere $$\pi\lt2\cdot \phi$$ olduğunu gösteriniz.

[alpercay]

$\pi<x<2\phi$ şartını sağlayan bir $x$ sayısı bulmaya çalışalım.

$2\phi=1+\sqrt 5\sim 3,23$  olduğu direkt hesapla görülebilir.

Lemma: Birim çembere teğet olan düzgün bir çokgenin alanı $$S_n=n\cdot tan(\dfrac {\pi}{n})$$ ile verilir.

Çemberin alanı onu çevreleyen çokgenin alanından açıkça küçük olacağından $\pi<S_n$ eşitsizliği barizdir. Ayrıca $n\to\infty$ iken $S_n\to\pi$ olur.

$n=6$ için denersek $x=S_6=2\sqrt 3>1+\sqrt 5$ olacağından istediğimiz eşitsizlik sağlanmaz.

$n=12$ için $x=S_{12}=12\tan 15=12(2-\sqrt 3)\sim3,215$ olup $\pi<x<2\phi$ eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla  $\pi<2\phi$ olmalıdır.