Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Dar açılı bir $ABC$ üçgeninde iç teğet çember merkezi $I$ ve $|AB| \neq |AC|$ olsun. $BI$ ve $CI$ doğruları $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi ile sırasıyla $P \neq B$ ve $Q \neq C$ noktalarında kesişiyor. $R$ ve $S$ noktalarını, $AQRB$ ve $ACSP$ paralelkenar olacak şekilde $(AQ \parallel RB, \  AB \parallel QR, \ AC \parallel SP$ ve $AP \parallel CS)$ alalım. $RB$ ve $SC$ doğrularının kesişim noktası $T$ olsun. $R,S,T,I$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

(Slovakya)

[geo]

Bilinen bir özelliğin ispatını yapalım: $\angle PIC = \angle PQC + \angle QPB = \angle AQP + \angle QCA = \angle PCI$ den $AP=PI=PC$.
Benzer şekilde $AQ=QI=QB$.
$I$ noktasının çevrel çembere göre kuvvetinden $$QI\cdot IC = PI \cdot IB \Longrightarrow BR \cdot IC = CS \cdot IB \Longrightarrow \dfrac {BR}{IB} = \dfrac {CS}{IC}\tag{1}$$
$AB>AC$ olsun.
$$\angle IBT = \angle TBA - \angle IBA = \angle QAB - \angle IBA = \angle ICA - \angle CAP = \angle ICA - \angle TCA = \angle ICT \tag{2}$$
Bu durumda $\angle IBR = \angle ICS$ olur ve $(1)$ den dolayı $\triangle IBR \sim \triangle ICS$ dir.
$(2)$ nin sonucu olarak $BITC$ kirişler dörtgeni, yani $\angle BIC = \angle BTC$. (Basit açı hesabıyla da aynı sonuç elde edilebilir.)
$\angle BIR = \angle CIS$ olduğu için $\angle RIS = \angle BIC = \angle BTC$. Bu durumda $RITS$ kirişler dörtgenidir.