Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2025 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$ABC$ dar açılı bir üçgen olsun. $B,D,E,C$ noktaları aynı doğru üzerinde bu sırayla yer alan ve $|BD|=|DE|=|EC|$ koşulunu sağlayan noktalar olsun. $M$ ve $N$ noktaları sırasıyla $AD$ ve $AE$ doğru parçalarının orta noktaları olsun. $ADE$ üçgeninin dar açılı olduğunu varsayalım ve bu üçgenin diklik merkezi $H$ olsun. $P$ ve $Q$ noktaları sırasıyla $BM$ ve $CN$ doğruları üzerinde;  $D,H,M,P$ noktaları birbirinden farklı ve çemberdeş olacak şekilde ve $E,H,N,Q$ noktaları birbirinden farklı ve çemberdeş olacak şekilde alınıyor. $P,Q,N,M$ noktalarının çemberdeş olduğunu gösteriniz.

(Slovakya)

[geo]

$ADBF$ ve $AECG$ paralelkenarlarını kuralım.

$AEDF$ de bir paralelkenardır. Ayrıca $AM:MD = AG:DB = 1$ olduğu için $B, M, G$ doğrusaldır. Benzer şekilde $C,N,F$ de doğrusaldır.
$DH \perp AE$ olduğu için $FD \perp DH$ ve $AH \perp DE$ olduğu için $AH \perp FA$ dır. Bu durumda $A,F,D,H$ bir kirişler dörtgenidir.
$\angle AFH = \angle ADH = \angle MPH = \angle GPH$ olduğu için $F, G, H, P$ çemberseldir. Benzer şekilde $F, G, H, Q$ da çemberseldir.
$MN\parallel DE$, dolayısıyla, $\angle FNM = \angle QCB = \angle GFQ = \angle GPQ = \angle MPQ$ olduğu için $M,N,P,Q$ çemberseldir.