$N = 2n$ şeklinde bir sayı ise $c_i$ lerin hepsi tek olacağı için $c_i + c_{i+1}$ sayısı her zaman çift olacaktır. Bu durumda $ebob(N,c_i+c_{i+1}) \neq 1$ her zaman sağlanacaktır.
$N$ tek sayı olduğunda $c_1 = 1< c_2 = 2$ olacağı için $N$ sayısı her zaman $1+2 = 3$ sayısına bölünmeli. O halde, $(n,6) = 1$ olmak üzere, $N=3^t\cdot n$ şeklinde bir sayı olmalı.
$n = 1$ için $N=3^t$ sayılarını ele alalım. Ardışık $c_i$ ler $3k+1$ ve $3k+2$ formunda olacaktır. Bu durumda $(3k+1) + (3k +2) = 6k + 3$ olacağı için $\text{ebob}(6k+3, N) \geq 3$ olacaktır. O halde, $N=3^t$ şeklinde sayılar da sağlar.
$(n,6) = 1$ olduğu için sıradaki $n$ sayısı için $n\geq 5$ olmalı. $N=3^t\cdot n$ şeklindeki sayıların sağlayıp sağlamadığını göstermeye çalışacağız. Bunun için önce $N=3\cdot 5 = 15$ ve $N=3\cdot 7$ sayılarını deneyebiliriz.
$N=15$ için $c_i = 8, c_{i+1}=11$ için $(19, 15) = 1$.
$N=21$ için $c_i = 13, c_{i+1}=16$ için $(29, 21) = 1$.
Biraz fikir sahibi olduk. $N=3^t\cdot n$ sayısı için ardışık üç sayıdan biri $3$'e bölünecek, biri de $n$ ye bölünürse $N=3^t$ deki ardışık döngü kırılabilir.
$N-n$ sayısını ele alalım.
$n \equiv 1 \pmod 3$ ise $N-n - 1< N- n< N-n + 1< N- n +2$ sayılarını inceleyelim.
$(N-n, N) = (n, N) = n$; $(N-n+1, N) = (n-1, N) \geq 3$; $(N-n-1, N) = (n+1, N)=1$; $(N-n+2, N) = (n-2, N)=1$
Bu durumda $c_i = N-n-1$ ve $c_{i+1} = N-n+2$ olacaktır. $c_i + c_{i+2} = (N-n-1) + (N-n +2) = 2N - 2n + 1$.
$(2N - 2n + 1, N) = (2n-1, N) = (2n-1, n) = (n-1, n) = 1$.
$n \equiv 2 \pmod 3$ ise $N-n-2 < N- n-1 < N-n < N-n+1$ sayılarını inceleyelim.
$(N-n, N) = (n, N) = n$; $(N-n-1, N) = (n+1, N) \geq 3$; $(N-n+1, N) = (n-1, N)=1$; $(N-n-2, N) = (n+2, N)=1$.
Bu durumda $c_i = N-n-2$ ve $c_{i+1} = N-n+1$ olacaktır. $c_i + c_{i+2} = (N-n-2) + (N-n +1) = 2N - 2n - 1$.
$(2N - 2n - 1, N) = (2n+1, N) = (2n+1, n) = (n+1, n) = 1$.
Yani $n\geq 5$ ve $(n,6)=1$ olmak üzere; $N=3^t\cdot n$ sayıları sorudaki koşulu sağlamaz.
O halde yanıt, $k>1$ ve $t>0$ tam sayıları için $N=2k$ veya $N=3^t$ şeklindeki sayılardır.
