Peru TST 2017/5 -Dikme ayağından OC'ye paralel- Doğrudaşlık sorusu

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Dar açılı bir $ABC$  üçgeninde $O$  çevrel merkez ve $BQ$  bir yükseklik olsun. $Q$  noktasından geçen ve $OC$ 'ye paralel olan doğru $BO$  doğrusunu $X$  noktasında kesiyor. $AB$  ve $AC$  kenarlarının orta noktaları sırasıyla $M_C$  ve $M_B$  ise $X$, $M_B$  ve $M_C$  noktaları doğrudaştır, gösteriniz.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$XM_B\parallel BC$  olduğunu göstereceğiz, ki bu $X-M_B-M_C$  doğrusallığı demektir.

$\angle TQB=\angle ACO$  olduğundan $\angle QXM_B=\angle OCB$  eşitliğini ispatlamak yeterlidir. Öte yandan
$$\dfrac{TM_B}{M_BQ}=\dfrac{TO}{OB}=\dfrac{TO}{OC}=\dfrac{TX}{QX}$$
olduğundan $XM_B$  doğrusu $\angle QXT$  'nin iç açıortayıdır, dolayısıyla $\angle QXM_B=\dfrac{\angle QXT}{2}=\dfrac{\angle TOC}{2}=\angle OCB$  bulunur, dolayısıyla bu üç nokta doğrusaldır.