İç Teğet Çemberli Dik Yamuğun Alanı

[alpercay]

İç Teğet çemberi çizilebilen bir dik Yamuğun alanının alt ve üst tabanları çarpımı olduğunu kanıtlayınız. 

[ahmedsyldz]

$AB \parallel DC$ ve $AD \perp DC$ olan $ABCD$ dik yamuğunda, merkezi $O$ noktası ve yarıçapı $r$ olan iç teğet çemberin $|AB|$, $|BC|$, $|CD|$ ve $|DA|$ kenarlarına teğet olduğu noktalar sırasıyla $E$, $F$, $G$ ve $H$ olsun. Bu durumda $|EA| = |AH| = |HD| = |DG| = r$, $|CF| = |CG|$ ve $|EB| = |BF|$ olur. $|OB|$ ve $|OC|$ çizilirse $\angle BOC = 180^\circ - \frac{\angle ABC + \angle BCD}{2} = 90^\circ$ olur ve Öklid'ten $*(|OF|^2 = r^2 = |BF|.|CF|)$ gelir. Bu durumda yamuğun alanı $|AD|(|AB| + |DC|)/2 = r(2r + |EB| + |GC|) = r^2 + r(|EB| + |GC|) + |EB|.|GC|$ (* eşitliği) $ = (r + |EB|)(r + |GC|) = |AB|.|DC|$ olur.

[alpercay]

Çözüm: E.Aslan

$ABCD$ bir dik yamuk, iç teğet çemberin yarıçapı $r$, $AB=a$, $CD=c$, $CK \perp AB$ olsun.

Bu takdirde $AF=DE=r$, $h=CK=2r$, $EC=CH=c-r$, $FB=BH=a-r$ ve $BK=a-c$ dr.

$\triangle CKB$ de pisagor teoremi uygulayalım.

$(a+c-2r)^2=(2r)^2+(a-c)^2$

$a^2+c^2+4r^2+2ac-4ar-4cr=4r^2+a^2-2ac+c^2$

$4ac=4ar+4cr$

$ac=r(a+c)$

$A(ABCD)=\frac{(a+c)h}{2}=\frac{(a+c)2r}{2}=(a+c)r=ac$

Not: $\dfrac{1}{r}=\dfrac 1a+\dfrac 1c$ şeklinde de ifade edilebilir. İç teğet çemberli dik yamukta çap, alt ve üst taban uzunluklarının harmonik ortasıdır. Sonuç olarak, bir yamukta köşegenlerin kesim noktası bu noktadan geçen ve tabanlara paralel olan doğru parçasını  $r=\dfrac{ac}{a+c}$ uzunluğunda iki eş parçaya böldüğünden bu  nokta tabanları birleştiren çap üzerindedir.