Tübitak Lise 1. Aşama 2022 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$m$ ve $n$ pozitif tam sayılar ve $p$ bir asal sayı olmak üzere, $2m^2+3m-44=3p^n$ eşitliğini sağlayan kaç $(m,n,p)$ üçlüsü vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[taftazani44]

$2m^{2}+3m-44=3p^{n}$

$2m^{2}+3m-44-3p^{n}=0,\\ m\in Z\Rightarrow \Delta =t^{2}$
$361+24p^{n}=t^{2}\\ t^{2}-19^{2}=24p^{n}$
$\left( t-19\right) \left( t+19\right) =24p^{n}$


$t-19=1,2,3,4, 6,8,12,24\\ t+19=39=24p^{n}\\ t+19=40=12p^{n}$
$t+19=41=8p^{n}$
$t+19=42=6p^{n}$
$t+19=44=4p^{n}$
$t+19=46=3p^{n}$
$t+19=50=2p^{n}$
$t+19=62=p^{n}$

\begin{aligned}7=p^{n}\Rightarrow  p=7,n=1\\ 11=p^{n}\Rightarrow  p=11,n=1\\ 25=p^{n}\Rightarrow p=5 n=5\end{aligned}

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Cevap: $3$.

$2 m^2+3 m-44=(2 m+11)(m-4) \cdot m-4=k$ olsun. Bu durumda $k$ bir pozitif tam sayıdır ve $k(2 k+19)=3 p^n$ olur. $\text{obeb} (k, 2 k+19)=1$ veya $19$ olmalı. $\text{obeb}(k, 2 k+19)=1$ olsun. O zaman $k=1$ ve $2 k+19=3 p^n$ veya $k=3$ ve $2 k+19=p^n$ olmalı. İlk durumda $p=7$ ve $n=1$ olur iken ikinci durumda $p=5$ ve $n=2$ olur. O halde $\text{obeb}(k, 2 k+19)=1$ iken $(5,1,7)$ ve $(7,2,5)$ çözümleri elde edilir.

$\text{obeb}(k, 2 k+19)=19$ olsun. Bu durumda $p=19$ olmalı ve $k=19 \cdot r$ dersek $r(2 r+1)=3 \cdot 19^{n-2}$ olur. O zaman $n \geq 2$ bulunur. $n=2$ ise, $r=1$ olur ve buradan $(23,2,19)$ çözümü elde edilir. $n \geq 3$ ise, $1<r<2 r+1,3<19^{n-2}$ ve $\text{obeb}(r, 2 r+1)=1$ olduğu için $r=3$ ve $2 r+1=19^{n-2}$ olmalı. Ancak bu durumda $n$ tam sayı olmaz ve çözüm gelmez.

Sonuç olarak tüm çözümler $(5,1,7)$, $(7,2,5)$ ve $(23,2,19)$ üçlüleridir.

Kaynak: Tübitak 30. Ulusal Matematik Olimpiyatı Birinci Aşama Sınav Soru ve Çözümleri 2022

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{C}$
Tüm çözümler $(m,n,p)=(7,2,5),(5,1,7),(23,2,19)$  çözümleridir.

$m\equiv -1,1\pmod 3$  olduğunu görmek kolaydır. $m=3k+1$  için ifade $2(3k+1)^2+3(3k+1)-44=3p^n$  veya $(6k+13)(k-1)=p^n$  şeklini alır. $6k+13=p^a$  ve $k-1=p^b$  diyelim ($a>b$). Buna göre $p^b-6p^a=p^a(p^{b-a}-6)=19$  olmalıdır. $p=19$  için çözüm gelmez fakat $p^{b-a}-6=19$  için $(p,a,b)=(5,0,2)$  yani $\boxed{(m,n,p)=(7,2,5)}$  çözümü bulunur.

$m=3k-1$  için ise $2(3k-1)^2-3(3k-1)-44=3p^n$  veya $(2k+3)(3k-5)=p^n$  eşitliğine ulaşılır. $2k+3=p^b$  ve $3k-5=p^a$  diyelim. Burayı da iki duruma ayıracak olursak, $k\geq 8$  için $a\geq b$  dir. Eşitlik çözülürse $3p^b-2p^a=p^b(3-2^{a-b})=19$  olur. $3-2p^{a-b}\leq 1$  olduğundan $p=19$  olmalıdır. Buradan $(p,a,b)=(19,1,1)$  veya $\boxed{(m,n,p)=(5,1,7)}$  çözümü gelir.
 
$k<8$  durumunda ise $b>a$  dır. $p^a(3p^{b-a}-2)=19$  eşitliğine ulaşılır. $p=7$  çözümü yukarıdakiyle aynı iken $p=19$  için de $(p,a,b)=(19,1,1)$  ve dolayısıyla $\boxed{(m,n,p)=(23,2,19)}$  çözümüne ulaşılır.