Tübitak Lise 1. Aşama 2007 Soru 33

[ERhan ERdoğan]

Bir $A$ noktasından $C$ çemberine çizilen teğetlerin değme noktaları $M$ ve $N$ dir. $[AN]$ üstünde alınan bir $P$ noktası için $MP$ ile $C$ nin ikinci kesişim noktası $Q, P$ den geçen ve $MA$ ya paralel olan doğru ile $MN$ nin kesişim noktası $R$ olmak üzere, $|MA| = 2, |MN| = \sqrt{3}$ ve $QR\parallel AN$ ise, $|PN|$ nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac{3}{2}
\qquad\textbf{b)}\ 1
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\qquad\textbf{e)}\ \sqrt{3}
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{A}$

$\triangle PNR \sim \triangle ANM$ olduğundan $|PN|=2x$ dersek $|NR|=\sqrt3 x$ ve $|AP|=2-2x$ olur. $2-2x>0$ olduğundan $x<1$ olmalıdır. $\triangle PNM \sim \triangle QRM$ olduğundan $\dfrac{|PQ|}{|PM|} = \dfrac{\sqrt3 x }{\sqrt3 } = x$ dir. $|PQ|=|PM|x$ yazılır. $P$ noktasının çembere göre kuvveti: $|PN|^2 = |PQ|\cdot |PM|$ olduğundan $|PM|^2 = 4x$ elde edilir. $MAP$ üçgeninin kenarları $x$ e bağlı olarak belirlidir. $MAN$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa $\cos A = \dfrac{5}{8}$ bulunur. Şimdi de $MAP$ üçgeninde kosinüs teoremi uygulanırsa $|PM|^2 = |PA|^2+ |MA|^2 - 2|PA|\cdot |MA|\cdot \dfrac{5}{8}$ olup $4x= (2-2x)^2 +4 -2\cdot (2-2x) \cdot 2 \cdot \dfrac{5}{8}$ denklemi elde edilir. Bu denklem düzenlenirse $4x^2-7x+3=0$ olup $(4x-3)(x-1)=0$ yazılır. $x=1$ veya $x=\dfrac{3}{4}$ tür. $x<1$ şartından dolayı $x=\dfrac{3}{4}$ alınır ve $|PN|=2x=x=\dfrac{3}{2}$ elde edilir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Yanıt: $\boxed{A}$

$PN=2x$  dendiğinde $NR=x\sqrt{3}$ olur. $\triangle PNR$  ikizkenar olduğundan $PN^2=PR^2=PQ.PM$  olur. $(MQR)$  çemberi $PR$  ye teğettir. Teğetlik ve paralellikten $\angle  PMR=\angle QRP=\angle PRN$  bulunur yani $(PMR)$  teğettir $PN$  elde edilir.  $PN^2=4x^2=MN.RN=3x$  ve dolayısıyla $PN=2x=\dfrac{3}{2}$  elde edilir.