Tübitak Lise 1. Aşama 2000 Soru 04

[geo]

$(x\sqrt x)^x = x^{x\sqrt x}$ denkleminin gerçel çözümlerinin toplamı nedir?

$
\textbf{a)}\ \dfrac {18}{7}
\qquad\textbf{b)}\ \dfrac {71}{4}
\qquad\textbf{c)}\ \dfrac {9}{4}
\qquad\textbf{d)}\ \dfrac {24}{19}
\qquad\textbf{e)}\ \dfrac {13}{4}
$

[geo]

Yanıt: $\boxed{E}$

$$x^{\tfrac {3x}2} = x^{x^{\tfrac 32}} $$ eşitliğinde her iki tarafın $\log$ unu alalım.
$$\dfrac {3x}{2} \log {x} = x^{\tfrac 32}\log {x} \Rightarrow \log {x}\left (\dfrac {3x}{2} -  x^{\tfrac 32} \right ) = x \log {x} \left (\dfrac 32 - x^{\tfrac 12} \right )$$
$x=0$ için  $0^0$ tanımsız olduğu için, $x=0$ bir kök değildir. Olsaydı da, gerçel köklerin toplamına etki etmeyecekti.
$$\log x = 0 \Rightarrow x = 10^0 = 1$$
ve
$$\dfrac 32 - x^{\tfrac 12} \Rightarrow \sqrt x = \dfrac 32 \Rightarrow x = \dfrac 94$$ olduğundan denklemin gerçel kökleri toplamı $$1 + \dfrac 94 = \dfrac {13}4$$ tür.

[geo]

$\sqrt x$ ten dolayı $x\geq 0$ olmalı. $x=0$ ifadeyi tanımsız yapar, yapmasaydı da toplama etkisi olmazdı.
$x=1$ in çözüm olduğu aşikar.
$x\neq 1$ pozitif sayısı için $(x\sqrt x)^x=x^{\frac {3x}2}=x^{x\sqrt x}\Longrightarrow \dfrac{3x}2=x\sqrt x \Longrightarrow \dfrac 32 = \sqrt x \Longrightarrow x=\dfrac 94$.
Kökler toplamı: $1+\dfrac 94 =\dfrac{13}4$.