Tübitak Lise 1. Aşama 1999 Soru 33

[geo]

$|AC|=8\sqrt 2$; $[AC]$ nın orta noktası $B$; $[AB]$ nı kiriş kabul eden bir çemberin $AB$ yayının orta noktası $E$; $C$ noktasından bu çembere çizilen teğetin değme noktası da, ($D$ ile $E$, $AB$ doğrusunun ters taraflarında olmak üzere) $D$ dir. $[DE] \cap [AB] = \{F\}$ ise, $|CF|$ kaçtır?

$
\textbf{a)}\ 5\sqrt 2
\qquad\textbf{b)}\ 4\sqrt 2
\qquad\textbf{c)}\ 8
\qquad\textbf{d)}\ 6
\qquad\textbf{e)}\ 4\sqrt 3
$

[geo]

$C$ noktasının çembere göre kuvvetinden
$$CD^2 = BC \cdot AC = 4\sqrt 2 \cdot 8\sqrt 2 = 64 \Rightarrow CD=8$$
elde edilir. $$ \angle BFD =\dfrac{\stackrel\frown{AE}+\stackrel\frown{BD}}{2} \text { ve } \angle CDF =\frac{\stackrel\frown{EB}+\stackrel\frown{BD}}{2} $$ olduğu için $$ \angle CFD =\angle CDF\Rightarrow CF = CD = 8 $$ elde edilir.

[geo]

Çemberin merkezi $O$ olsun. $OD \perp CD$.
$AB$ nin orta noktası $M$ olsun.
$\overset{\Huge\frown}{AB}$ nin orta noktası $E$ olduğu için $O,M,E$ doğrusal ve $OE \perp AB$ dir.
$\angle OED = \angle ODE = \alpha$ dersek $\angle EFM = 90^\circ - \alpha$ ve $\angle FDC = 90^\circ - \alpha$ olacaktır. Bu durumda $\angle CDF = \angle CDF = 90^\circ - \alpha$, dolayısıyla $CF = CD  = \sqrt {CB \cdot CA} = \sqrt {4 \sqrt 2 \cdot 8 \sqrt 2} = 8$ elde edilir.

[geo]

Çembere $E$ noktasında teğet olan $\ell$ doğrusu $AB$ ye paraleldir.
$\ell$ ile $CD$, $P$ de kesişsin. $\angle CDF = \angle PED =\angle CFD$ olduğu için $CF^2=CD^2=CB\cdot CA = 64$.